Question

Bernardo 选择一个三位正整数 $N$ ，并把它的五进制表示和六进制表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到这两个数，把它们当作以十为底的整数相加，得到整数 $S$ 。

例如，若 $N = 749$ ，Bernardo 写下 $10,\!444$ 和 $3,\!245$ ，LeRoy 得到 $S = 13,\!689$ 。有多少个 $N$ 的选择，使得 $S$ 的最右两位数字按顺序与 $2N$ 的最右两位数字相同？

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base-5 and base-6 representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base-10 integers, he adds them to obtain an integer $S.$

For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10,\!444$ and $3,\!245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13,\!689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

答案：E

知识点：进制模运算中国剩余定理

难度评级：2440

解答：

只需在模 $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ 下分析，因为 $5$ 进制、 $6$ 进制和以十为底表示时的末两位都以此为周期。

设 $5$ 进制末两位为 $a_1a_0$ ， $6$ 进制末两位为 $b_1b_0$ 。个位条件给出 $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ ，所以 $a_0=b_0$ 。

写作 $N=150N_3+30a_1+a_0$ 。 $6$ 进制十位条件给出 $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ ，所以 $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ 。

比较 $S$ 和 $2N$ 的十位条件，化简得 $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ 。在 $0\le a_1\le4$ 、 $0\le b_1\le5$ 下，可行对为 $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ 。

又 $a_0=b_0$ 有 $5$ 种选择，所以共有 $5\cdot5=25$ 个 $N$ 。

所以正确答案是 E。

It is enough to work modulo $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ , because the last two base- $5$ , base- $6$ , and decimal digits repeat with that period.

Let the last two base- $5$ digits be $a_1a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1b_0$ . The units digit condition gives $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ , so $a_0=b_0$ .

Writing $N=150N_3+30a_1+a_0$ , the base- $6$ tens digit condition gives $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ , so $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ .

The tens digit condition for $S$ and $2N$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ . With $0\le a_1\le4$ and $0\le b_1\le5$ , the valid pairs are $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ .

There are $5$ choices for $a_0=b_0$ , so there are $5\cdot5=25$ choices of $N$ .

Thus, the correct answer is E .

2013 AMC 10B 第 25 题

答案：E

难度评级：2440

解答：

其他年份的第 25 题