2013 AMC 10B 第 25 题

Question

Bernardo 选择一个三位正整数

N

，并把它的以

5

为底和以

6

为底的表示都写在黑板上。后来 LeRoy 看到这两个数，把它们当作以

10

为底的整数相加，得到整数

S

。

例如，若

N = 749

，Bernardo 写下

10

，

\!444

和

3

，

\!245

，LeRoy 得到

S = 13

，

\!689

。有多少个

N

的选择，使得

S

的最右两位数字按顺序与

2N

的最右两位数字相同？

Bernardo chooses a three-digit positive integer

N

and writes both its base-

5

and base-

6

representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base-

10

integers, he adds them to obtain an integer

S.

For example, if

N = 749,

Bernardo writes the numbers

10,

\!444

and

3,

\!245,

and LeRoy obtains the sum

S = 13,

\!689.

For how many choices of

N

are the two rightmost digits of

S,

in order, the same as those of

2N?

5

10

15

20

25

答案：E

知识点：进制模运算中国剩余定理

难度评级：2440

小提示：

用同余跟踪以

5

为底和以

6

为底的表示的最后两位。

Track the last two base-

5

and base-

6

digits with congruences

大提示：

分别在模

25

、模

36

、模

100

下工作。

Work modulo

25

,

36

, and

100

解答：

只需在模

900=\operatorname{lcm}(25,36,100)

下分析，因为

5

进制、

6

进制和以十为底表示时的末两位都以此为周期。

设

5

进制末两位为

a_1a_0

，

6

进制末两位为

b_1b_0

。个位条件给出

a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}

，所以

a_0=b_0

。

写作

N=150N_3+30a_1+a_0

。

6

进制十位条件给出

N_3\equiv a_1+b_1\pmod6

，所以

N=900N_4+180a_1

+150b_1+a_0

。

比较

S

和

2N

的十位条件，化简得

5a_1\equiv b_1\pmod{10}

。在

0\le a_1\le4

、

0\le b_1\le5

下，可行对为

(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)

。

又

a_0=b_0

有

5

种选择，所以共有

5\cdot5=25

个

N

。

所以正确答案是 E。

It is enough to work modulo

900=\operatorname{lcm}(25,36,100)

, because the last two base-

5

, base-

6

, and decimal digits repeat with that period.

Let the last two base-

5

digits be

a_1a_0

and the last two base-

6

digits be

b_1b_0

. The units digit condition gives

a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}

, so

a_0=b_0

.

Writing

N=150N_3+30a_1+a_0

, the base-

6

tens digit condition gives

N_3\equiv a_1+b_1\pmod6

, so

N=900N_4+180a_1

+150b_1+a_0

.

The tens digit condition for

S

and

2N

reduces to

5a_1\equiv b_1\pmod{10}

. With

0\le a_1\le4

and

0\le b_1\le5

, the valid pairs are

(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)

.

There are

5

choices for

a_0=b_0

, so there are

5\cdot5=25

choices of

N

.

Thus, the correct answer is E .

2013 AMC 10B 第 25 题

答案：E

难度评级：2440

小提示：

大提示：

解答：

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