2011 AMC 10A 第 20 题

Question

在一个半径为

r

的圆周上，独立随机选取两个点。从每个点沿顺时针方向画一条长度为

r

的弦。两条弦相交的概率是多少？

Two points on the circumference of a circle of radius

r

are selected independently and at random. From each point a chord of length

r

is drawn in a clockwise direction. What is the probability that the two chords intersect?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：D

知识点：几何概率弦弧

难度评级：1840

小提示：

长度为

r

的弦对应

60^\circ

的圆心角。

A chord of length

r

subtends

60^\circ

大提示：

固定一条弦，找出第二条弦起点所在的哪些弧会与它相交。

Fix one chord and look for the arc positions from which the second chord crosses it

解答：

半径为

r

的圆中，长度为

r

的弦所对的圆心角为

60^\circ

。固定第一条弦，使其端点的角度为

0^\circ

和

60^\circ

。若第二条弦从角度

\theta

开始，则另一端点在其顺时针方向

60^\circ

处。

两条弦的端点恰好交替出现，当且仅当

\theta

位于紧邻固定弦两个端点的两段

60^\circ

圆弧之一。因此有利的起点共占圆周的

120^\circ

。

所求概率为

\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\text{。}

所以正确答案是 D。

A chord of length

r

in a circle of radius

r

subtends a

60^\circ

arc. Fix the first chord, with endpoints at angles

0^\circ

and

60^\circ.

If the second chord starts at angle

\theta,

its other endpoint is

60^\circ

clockwise from there.

The endpoints of the two chords alternate exactly when

\theta

lies in either of the two

60^\circ

arcs immediately adjacent to the fixed chord’s endpoints. Thus the favorable starting positions occupy

120^\circ

of the circle.

The desired probability is then

\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10A 第 20 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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