2010 AMC 10B 第 6 题

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6.

圆心为

O

，

\overline{AB}

是直径，点

C

在圆上，且

\angle COB = 50^\circ

。

\angle CAB

的度数是多少？

A circle is centered at

O,

\overline{AB}

is a diameter and

C

is a point on the circle with

\angle COB = 50^\circ.

What is the degree measure of

\angle CAB?

20

25

45

50

65

答案：B

知识点：圆等腰三角形导角

难度评级：960

小提示：

将

\angle COB

与

\angle AOC

联系起来。

Relate

\angle COB

to

\angle AOC

大提示：

OA=OC

，所以

\triangle AOC

是等腰三角形。

OA=OC

, so

\triangle AOC

is isosceles

解答：

参考下图：

由于直径的两端与圆心在同一直线上，

\angle AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\text{。}

\triangle AOC

是等腰三角形，所以

\angle CAO = \dfrac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 25^{\circ}\text{。}

因为

\angle CAB = \angle CAO

，所以

\angle CAB = 25^{\circ}

。

所以正确答案是 B。

Consider the following diagram:

We have that

\angle AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}.

Since

\triangle AOC

is isosceles, we have that

\angle CAO = \dfrac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 25^{\circ}.

Since

\angle CAB = \angle CAO,

we have that

\angle CAB = 25^{\circ}.

Thus, B is the correct answer.