2009 AMC 10B 第 16 题

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16.

点

A

和

C

在以

O

为圆心的圆上，

\overline{BA}

和

\overline{BC}

都与该圆相切，并且

\triangle ABC

是等边三角形。圆与

\overline{BO}

交于

D

。求

\dfrac{BD}{BO}

的值。

Points

A

and

C

lie on a circle centered at

O,

each of

\overline{BA}

and

\overline{BC}

are tangent to the circle, and

\triangle ABC

is equilateral. The circle intersects

\overline{BO}

at

D.

What is

\dfrac{BD}{BO}?

\dfrac{\sqrt2}{3}

\dfrac12

\dfrac{\sqrt3}{3}

\dfrac{\sqrt2}{2}

\dfrac{\sqrt3}{2}

答案：B

知识点：切线特殊直角三角形圆

难度评级：1420

小提示：

等边三角形

\triangle ABC

给出

\angle OBC=30^\circ

，且

OC\perp BC

。

Equilateral

\triangle ABC

gives

\angle OBC=30^\circ,

and

OC\perp BC

大提示：

在

30

-

60

-

90

三角形中，斜边

BO=2\,OC

。

In a

30

-

60

-

90

triangle the hypotenuse

BO=2\,OC

解答：

设半径为

r

。由对称性，

BO

平分

60^\circ

角

ABC

，所以

\angle OBC=30^\circ

。又

OC\perp BC

，三角形

BCO

是

30

-

60

-

90

三角形，斜边

BO=2\,OC=2r

。

于是

BD=BO-OD=2r-r=r

，所以

\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12

。

所以正确答案是 B。

Let the radius be

r.

By symmetry

BO

bisects the

60^\circ

angle

ABC,

so

\angle OBC=30^\circ.

Since

OC\perp BC,

triangle

BCO

is a

30

-

60

-

90

triangle with hypotenuse

BO=2\,OC=2r.

Then

BD=BO-OD=2r-r=r,

so

\dfrac{BD}{BO}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac12.

Thus, the correct answer is B.