2007 AMC 10A 第 25 题

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25.

对每个正整数

n

，令

S(n)

表示

n

的各位数字之和。有多少个

n

满足

n + S(n) + S(S(n)) = 2007

？

For each positive integer

n,

let

S(n)

denote the sum of the digits of

n.

For how many values of

n

is

n + S(n) + S(S(n)) = 2007?

1

2

3

4

5

答案：D

知识点：数字模运算极限情形界定

难度评级：2200

小提示：

对

n \le 2007

，有

S(n) \le 28

且

S(S(n)) \le 10

，所以

n \ge 1969

。

For

n \le 2007,

S(n) \le 28

and

S(S(n)) \le 10,

so

n \ge 1969

大提示：

n

、

S(n)

、

S(S(n))

模

9

同余，而

2007

是

9

的倍数。

n,

S(n),

and

S(S(n))

are all congruent modulo

9,

and

2007

is a multiple of

9

解答：

若

n \le 2007

，则

S(n) \le 28

，且

S(S(n)) \le 10

，所以

n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969

。

因为

n

、

S(n)

、

S(S(n))

模

9

都同余，且

2007

是

9

的倍数，所以它们都必须是

3

的倍数。

检查

1969

到

2007

之间的

3

的倍数，满足条件的是

1977

、

1980

、

1983

、

2001

。

所以共有

4

个

n

。

所以正确答案是 D。

If

n \le 2007,

then

S(n) \le 28

and

S(S(n)) \le 10,

so

n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.

Since

n,

S(n),

and

S(S(n))

all leave the same remainder modulo

9

and

2007

is a multiple of

9,

each must be a multiple of

3.

Checking the multiples of

3

between

1969

and

2007,

the condition holds for

1977,

1980,

1983,

and

2001.

So there are

4

values of

n.

Thus, the correct answer is D.