Question

对每个正整数 $n$ ，令 $S(n)$ 表示 $n$ 的各位数字之和。有多少个 $n$ 满足 $n + S(n) + S(S(n)) = 2007$ ？

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ denote the sum of the digits of $n.$ For how many values of $n$ is $n + S(n) + S(S(n)) = 2007?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

若 $n \le 2007$ ，则 $S(n) \le 28$ ，且 $S(S(n)) \le 10$ ，所以 $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969$ 。

因为 $n$ 、 $S(n)$ 、 $S(S(n))$ 模 $9$ 都同余，且 $2007$ 是 $9$ 的倍数，所以它们都必须是 $3$ 的倍数。

检查 $1969$ 到 $2007$ 之间的 $3$ 的倍数，满足条件的是 $1977, 1980, 1983$ 和 $2001$ 。

所以共有 $4$ 个 $n$ 。

所以正确答案是 D。

If $n \le 2007,$ then $S(n) \le 28$ and $S(S(n)) \le 10,$ so $n \ge 2007 - 28 - 10 = 1969.$

Since $n,$ $S(n),$ and $S(S(n))$ all leave the same remainder modulo $9$ and $2007$ is a multiple of $9,$ each must be a multiple of $3.$

Checking the multiples of $3$ between $1969$ and $2007,$ the condition holds for $1977, 1980, 1983,$ and $2001.$

So there are $4$ values of $n.$

Thus, the correct answer is D.