Question

一个半径为 $1$ 的圆与一个半径为 $2$ 的圆相切。如图， $\triangle ABC$ 的各边与这两个圆相切，且边 $AB$ 与 $AC$ 全等。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

A circle of radius $1$ is tangent to a circle of radius $2.$ The sides of $\triangle ABC$ are tangent to the circles as shown, and the sides $AB$ and $AC$ are congruent. What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{35}{2}$

$15\sqrt{2}$

$\dfrac{64}{3}$

$16\sqrt{2}$

$24$

答案：D

知识点：相切圆相似等腰三角形

难度评级：1720

解答：

设 $O, O'$ 为小圆和大圆的圆心，设 $D$ 为小圆与 $AC$ 的切点。沿 $AC$ 截出的直角三角形相似，所以 $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2}$ ，得到 $AO = 3$ 且 $AO' = 6$ 。

切线长 $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2$ 。设 $F$ 为 $BC$ 的中点，则 $AF = AO' + 2 = 8$ 。

因为 $\triangle ADO \sim \triangle AFC$ ，有 $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2$ 。因此 $BC = 4\sqrt2$ ，面积为 $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2$ 。

所以正确答案是 D。

Let $O, O'$ be the centers of the small and large circles, and let $D$ be the point where the small circle touches $AC.$ The right triangles cut off along $AC$ are similar, so $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},$ giving $AO = 3$ and $AO' = 6.$

The tangent length is $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2.$ Let $F$ be the midpoint of $BC$ ; then $AF = AO' + 2 = 8.$

Since $\triangle ADO \sim \triangle AFC,$ we get $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.$ Thus $BC = 4\sqrt2,$ and the area is $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10A 第 16 题

答案：D

难度评级：1720

解答：

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