Question

Odell 和 Kershaw 在圆形跑道上跑 $30$ 分钟。Odell 以 $250$ 米/分钟顺时针跑，使用半径为 $50$ 米的内道。Kershaw 以 $300$ 米/分钟逆时针跑，使用半径为 $60$ 米的外道，并与 Odell 从同一条半径线上开始。开始后他们相遇多少次？

Odell and Kershaw run for $30$ minutes on a circular track. Odell runs clockwise at $250$ m/min and uses the inner lane with a radius of $50$ meters. Kershaw runs counterclockwise at $300$ m/min and uses the outer lane with a radius of $60$ meters, starting on the same radial line as Odell. How many times after the start do they pass each other?

$29$

$42$

$45$

$47$

$50$

答案：D

知识点：相对速度路程、速度与时间圆周长

难度评级：1630

解答：

Odell 一圈为 $2\pi(50) = 100\pi$ 米，速度为 $250$ 米/分钟，用时 $\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi$ 分钟。Kershaw 一圈为 $2\pi(60) = 120\pi$ 米，速度为 $300$ 米/分钟，也用时 $\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi$ 分钟。

两人的单圈用时相同。由于他们反向跑，在 $t = \frac{k}{2}(0.4\pi)$ 时相遇，其中 $k = 1, 2, \ldots$ 。条件 $t \le 30$ 给出 $k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7$ ，所以他们共相遇 $47$ 次。

所以正确答案是 D。

Odell's lap is $2\pi(50) = 100\pi$ m at $250$ m/min, taking $\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi$ min. Kershaw's lap is $2\pi(60) = 120\pi$ m at $300$ m/min, also $\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi$ min.

Their periods are equal. Running in opposite directions, they meet at times $t = \frac{k}{2}(0.4\pi)$ for $k = 1, 2, \ldots$ Requiring $t \le 30$ gives $k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7,$ so they pass $47$ times.

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10A 第 15 题

答案：D

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 15 题