2006 AMC 10A 第 15 题

Question

Odell 和 Kershaw 在圆形跑道上跑

30

分钟。Odell 以每分钟

250

米的速度顺时针跑，使用半径为

50

米的内道。Kershaw 以每分钟

300

米的速度逆时针跑，使用半径为

60

米的外道，并与 Odell 从同一条半径线上开始。开始后他们相遇多少次？

Odell and Kershaw run for

30

minutes on a circular track. Odell runs clockwise at

250

m/min and uses the inner lane with a radius of

50

meters. Kershaw runs counterclockwise at

300

m/min and uses the outer lane with a radius of

60

meters, starting on the same radial line as Odell. How many times after the start do they pass each other?

29

42

45

47

50

答案：D

知识点：相对速度路程、速度与时间圆周长

难度评级：1630

小提示：

计算每位跑者跑一圈所需时间；它们恰好相等。

Compute each runner’s time for one lap; they turn out equal

大提示：

反向跑时，每圈会相遇两次；再数

30

分钟内能容纳多少次。

Running in opposite directions, they meet twice per lap; count how many laps fit in

30

minutes

解答：

Odell 一圈为

2\pi(50) = 100\pi

米，速度为每分钟

250

米，用时

\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi

分钟。Kershaw 一圈为

2\pi(60) = 120\pi

米，速度为每分钟

300

米，也用时

\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi

分钟。

两人的单圈用时相同。由于他们反向跑，在

t = \frac{k}{2}(0.4\pi)

时相遇，其中

k = 1, 2, \ldots

。条件

t \le 30

给出

k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7

，所以他们共相遇

47

次。

所以正确答案是 D。

Odell’s lap is

2\pi(50) = 100\pi

m at

250

m/min, taking

\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi

min. Kershaw’s lap is

2\pi(60) = 120\pi

m at

300

m/min, also

\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi

min.

Their periods are equal. Running in opposite directions, they meet at times

t = \frac{k}{2}(0.4\pi)

for

k = 1, 2, \ldots

Requiring

t \le 30

gives

k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7,

so they pass

47

times.

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 10A 第 15 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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