Question

二次方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的根是 $x^2 + px + m = 0$ 的根的两倍，且 $m, n$ 和 $p$ 都不为零。求 $\dfrac{n}{p}$ 的值。

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0,$ and none of $m, n,$ and $p$ is zero. What is the value of $\dfrac{n}{p}?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

答案：D

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1480

解答：

设 $r_1$ 和 $r_2$ 为 $x^2 + px + m = 0$ 的根，则 $m = r_1 r_2$ ，且 $p = -(r_1 + r_2)$ 。

$x^2 + mx + n = 0$ 的根为 $2r_1$ 和 $2r_2$ ，所以 $n = 4r_1 r_2$ ，且 $-m = 2(r_1 + r_2)$ 。

因此 $n = 4m$ ，并且 $m = -2(r_1 + r_2) = 2p$ ，所以 $p = \dfrac{m}{2}$ 。于是 $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

所以正确答案是 D。

Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2 + px + m = 0,$ so $m = r_1 r_2$ and $p = -(r_1 + r_2).$

The roots of $x^2 + mx + n = 0$ are $2r_1$ and $2r_2,$ so $n = 4r_1 r_2$ and $-m = 2(r_1 + r_2).$

Then $n = 4m$ and $m = -2(r_1 + r_2) = 2p,$ so $p = \dfrac{m}{2}.$ Therefore $\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{m/2} = 8.$

Thus, D is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 16 题

答案：D

难度评级：1480

解答：

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