2005 AMC 10B 第 16 题

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16.

二次方程

x^2 + mx + n = 0

的根是

x^2 + px + m = 0

的根的两倍，且

m

，

n

和

p

都不为零。求

\dfrac{n}{p}

的值。

The quadratic equation

x^2 + mx + n = 0

has roots that are twice those of

x^2 + px + m = 0,

and none of

m,

n,

and

p

is zero. What is the value of

\dfrac{n}{p}?

1

2

4

8

16

答案：D

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1480

小提示：

设

x^2+px+m=0

的根为

r_1

和

r_2

，再对两个方程使用韦达定理。

Let the roots of

x^2+px+m=0

be

r_1

and

r_2,

then use Vieta’s formulas on both equations

大提示：

用

r_1+r_2

和

r_1r_2

表示

m

、

n

和

p

。

Express

m,

n,

and

p

in terms of

r_1+r_2

and

r_1r_2

解答：

设

r_1

和

r_2

为

x^2 + px + m = 0

的根，则

m = r_1 r_2

，且

p = -(r_1 + r_2)

。

x^2 + mx + n = 0

的根为

2r_1

和

2r_2

，所以

n = 4r_1 r_2

，且

-m = 2(r_1 + r_2)

。

因此

n = 4m

，并且

m = -2(r_1 + r_2) = 2p

，所以

p = \dfrac{m}{2}

。于是

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\frac{m}{2}} = 8\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

r_1

and

r_2

be the roots of

x^2 + px + m = 0,

so

m = r_1 r_2

and

p = -(r_1 + r_2).

The roots of

x^2 + mx + n = 0

are

2r_1

and

2r_2,

so

n = 4r_1 r_2

and

-m = 2(r_1 + r_2).

Then

n = 4m

and

m = -2(r_1 + r_2) = 2p,

so

p = \dfrac{m}{2}.

Therefore

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\frac{m}{2}} = 8.

Thus, D is the correct answer.