Question

掷一个标准六面骰子，令 $P$ 为可见的五个面上的数字之积。一定能整除 $P$ 的最大数是多少？

A standard six-sided die is rolled, and $P$ is the product of the five numbers that are visible. What is the largest number that is certain to divide $P?$

$6$

$12$

$24$

$144$

$720$

答案：B

知识点：质因数分解整除性极限情形界定

难度评级：1190

解答：

因为 $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ ，所以可见乘积只会用到质数 $2, 3$ 和 $5$ 。

遮住 $4$ 时剩下的因数 $2$ 最少，为 $2^2$ 。遮住 $3$ 或 $6$ 时剩下的因数 $3$ 最少，为一个；遮住 $5$ 时可能没有因数 $5$ 。

因此 $P$ 一定能被 $2^2 \cdot 3 = 12$ 整除，但不一定能被更大的数整除。

所以正确答案是 B。

Since $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the visible product uses only the primes $2, 3,$ and $5.$

Hiding $4$ leaves the fewest $2$ 's, namely $2^2.$ Hiding $3$ or $6$ leaves the fewest $3$ 's, namely one. Hiding $5$ leaves no factor of $5.$

Therefore $P$ is always divisible by $2^2 \cdot 3 = 12,$ but not necessarily by any larger number.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B 第 4 题

答案：B

难度评级：1190

解答：

其他年份的第 4 题