2003 AMC 10B 第 25 题

Question

有多少个不同的四位数能被

3

整除，并且最后两位是

23

？

How many distinct four-digit numbers are divisible by

3

and have

23

as their last two digits?

27

30

33

81

90

答案：B

知识点：整除性数字模运算

难度评级：1400

小提示：

一个数能被

3

整除，当且仅当它的数字和能被

3

整除。

A number is divisible by

3

exactly when its digit sum is divisible by

3

大提示：

写成

\overline{ab23}

，要求

a+b+5

能被

3

整除，即

a+b\equiv 1 \pmod 3

。

Writing the number as

\overline{ab23},

require

a+b+5

divisible by

3,

so

a+b\equiv 1 \pmod 3

解答：

将该数写成

\overline{ab23}

。它能被

3

整除，当且仅当数字和

a+b+2+3=a+b+5

能被

3

整除，也就是

a+b\equiv 1 \pmod 3

。

两位前缀

\overline{ab}

从

10

到

99

，共有

90

个，其中恰好三分之一满足这个同余条件，因此共有

\dfrac{90}{3}=30

个。

所以正确答案是 B。

Write the number as

\overline{ab23}.

It is divisible by

3

when

a+b+2+3=a+b+5

is divisible by

3,

that is, when

a+b\equiv 1 \pmod 3.

The two-digit prefix

\overline{ab}

ranges over the

90

values from

10

to

99,

and exactly one third of them satisfy this, giving

\dfrac{90}{3}=30.

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10B 第 25 题

答案：B

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

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