2002 AMC 10B 第 16 题

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16.

对多少个整数

n

，

\dfrac{n}{20 - n}

是一个整数的平方？

For how many integers

n

is

\dfrac{n}{20 - n}

the square of an integer?

1

2

3

4

10

答案：D

知识点：丢番图方程整除性完全平方数

难度评级：1580

小提示：

设

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

，并用

k

表示

n

。

Set

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

and solve for

n

in terms of

k

大提示：

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}

；由于

k^2

与

k^2 + 1

互质，所以

20

能被

k^2 + 1

整除。

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}

; since

k^2

and

k^2 + 1

are coprime,

20

is divisible by

k^2 + 1

解答：

设

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

，其中

k \ge 0

是整数。于是

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}\text{。}

因为

k^2

与

k^2 + 1

互质，所以

k^2 + 1

必须整除

20

。这只在

k = 0

、

1

、

2

、

3

时发生，对应

k^2 + 1 = 1

、

2

、

5

、

10

。

对应的整数值为

n = 0

、

10

、

16

、

18

，因此共有

4

个这样的

n

。

所以正确答案是 D。

Suppose

\dfrac{n}{20 - n} = k^2

for some integer

k \ge 0.

Solving,

n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.

Since

k^2

and

k^2 + 1

share no common factor,

k^2 + 1

must divide

20.

This happens only for

k = 0,

1,

2,

3,

giving

k^2 + 1 = 1,

2,

5,

10.

The corresponding values

n = 0,

10,

16,

18

are all integers, so there are

4

such

n.

Thus, the correct answer is D.