Question

对多少个整数 $n$ ， $\dfrac{n}{20 - n}$ 是一个整数的平方？

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20 - n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

设 $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ ，其中 $k \ge 0$ 是整数。于是 $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

因为 $k^2$ 与 $k^2 + 1$ 互质，所以 $k^2 + 1$ 必须整除 $20$ 。这只在 $k = 0, 1, 2, 3$ 时发生，对应 $k^2 + 1 = 1, 2, 5, 10$ 。

对应的整数值为 $n = 0, 10, 16, 18$ ，因此共有 $4$ 个这样的 $n$ 。

所以正确答案是 D。

Suppose $\dfrac{n}{20 - n} = k^2$ for some integer $k \ge 0.$ Solving, $n = \dfrac{20k^2}{k^2 + 1}.$

Since $k^2$ and $k^2 + 1$ share no common factor, $k^2 + 1$ must divide $20.$ This happens only for $k = 0, 1, 2, 3,$ giving $k^2 + 1 = 1, 2, 5, 10.$

The corresponding values $n = 0, 10, 16, 18$ are all integers, so there are $4$ such $n.$

Thus, the correct answer is D.