2002 AMC 10B 第 11 题

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11.

三个连续正整数的乘积是它们和的

8

倍。它们的平方和是多少？

The product of three consecutive positive integers is

8

times their sum. What is the sum of their squares?

50

77

110

149

194

答案：B

知识点：代数变形二次方程

难度评级：1140

小提示：

将三个整数记为

n - 1

、

n

、

n + 1

；它们的和是

3n

Call the integers

n - 1,

n,

n + 1

; their sum is

3n

大提示：

乘积为

(n-1)n(n+1) = n(n^2 - 1)

，等于

8\cdot 3n

。

The product is

(n-1)n(n+1) = n(n^2 - 1),

which equals

8\cdot 3n

解答：

设三个整数为

n - 1

、

n

、

n + 1

。它们的乘积为

n(n^2 - 1)

，和为

3n

，因此

n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n\text{。}

因为

n \ne 0

，可得

n^2 - 1 = 24

，于是

n^2 = 25

，从而

n = 5

。

三个整数为

4

、

5

、

6

，平方和为

4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36

= 77

。

所以正确答案是 B。

Let the integers be

n - 1,

n,

n + 1.

Their product is

n(n^2 - 1)

and their sum is

3n,

so

n(n^2 - 1) = 8(3n) = 24n.

Since

n \ne 0,

we get

n^2 - 1 = 24,

so

n^2 = 25

and

n = 5.

The three integers are

4,

5,

and

6,

and

4^2 + 5^2 + 6^2 = 16 + 25 + 36

= 77.

Thus, the correct answer is B.