Question

La suma a la que converge la serie infinita $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ cuyo término $n$ -ésimo es $\frac{n}{10^n},$ es:

The limiting sum of the infinite series $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ whose $n$ th term is $\frac{n}{10^n},$ is:

$\dfrac19$

$\dfrac{10}{81}$

$\dfrac18$

$\dfrac{17}{72}$

mayor que cualquier cantidad finita

larger than any finite quantity

Respuesta: B

Conceptos:serie aritmético-geométrica cálculo sumatoria

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Parte de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

Start from $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

Pista grande:

Deriva y luego multiplica por $x$

Differentiate and then multiply by $x$

Solución:

Para $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Al tomar $x=\frac{1}{10}$ se obtiene $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Taking $x=\frac{1}{10}$ gives $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 Problema 40

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años