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1959 AMC 12 Problema 40

Intenta el Problema 40 del 1959 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1959 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

40.

En el triángulo ABC,ABC, BD‾\overline{BD} es una mediana. CF‾\overline{CF} corta a BD‾\overline{BD} en EE de modo que BE=ED.BE=ED. El punto FF está sobre AB‾.\overline{AB}. Entonces, si BF=5,BF=5, BABA es igual a:
In triangle ABC,ABC, BD‾\overline{BD} is a median. CF‾\overline{CF} intersects BD‾\overline{BD} at EE so that BE=ED.BE=ED. Point FF is on AB‾.\overline{AB}. Then, if BF=5,BF=5, BABA equals:
1010
1212
1515
2020
ninguna de estas
none of these
Respuesta: C
Conceptos:mediana (geometría)vectorpuntos de masa
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Usa coordenadas o masas, observando que DD es el punto medio de ACAC y EE es el punto medio de BDBD
Use coordinates or masses, noting that DD is the midpoint of ACAC and EE is the midpoint of BDBD
Pista grande:
Escribe EE tanto como B+D2\frac{B+D}{2} como en su forma de punto sobre la recta CFCF
Write EE both as B+D2\frac{B+D}{2} and as a point on line CFCF
Solución:
Usa vectores con A=0, B=b,A=\mathbf0,\ B=\mathbf b, y C=c.C=\mathbf c. Como D=c2D=\frac{\mathbf c}{2} y EE es el punto medio de BD,BD, E=12b+14c. E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c. Un punto FF sobre ABAB tiene la forma F=tb.F=t\mathbf b. Como EE está sobre CF,CF, al comparar el coeficiente de c\mathbf c se obtiene E=14C+34F.E=\tfrac14C+\tfrac34F. Por consiguiente, 34t=12, \frac34t=\frac12, así que t=23.t=\frac{2}{3}. Entonces AFAB=23,\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}, y BFBA=13.\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}. Como BF=5,BF=5, BA=15.BA=15.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Use vectors with A=0, B=b,A=\mathbf0,\ B=\mathbf b, and C=c.C=\mathbf c. Since D=c2D=\frac{\mathbf c}{2} and EE is the midpoint of BD,BD, E=12b+14c. E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c. A point FF on ABAB has the form F=tb.F=t\mathbf b. Since EE lies on CF,CF, comparison of the c\mathbf c-coefficient shows that E=14C+34F.E=\tfrac14C+\tfrac34F. Hence 34t=12, \frac34t=\frac12, so t=23.t=\frac{2}{3}. Thus AFAB=23,\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}, and BFBA=13.\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}. Since BF=5,BF=5, BA=15.BA=15.
Therefore, the correct answer is C.
Problema 39#39
Examen completo
Problema 41#41

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