1955 AMC 12 Problema 40

Question

Si

b\ne d,

las fracciones

\dfrac{ax+b}{cx+d}

y

\dfrac bd

son desiguales si:

If

b\ne d,

the fractions

\dfrac{ax+b}{cx+d}

and

\dfrac bd

are unequal if:

a=c=1

y

x\ne0

a=c=1

and

x\ne0

a=b=0

a=c=0

x=0

ad=bc

Multiplica en cruz la igualdad

\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}

Cross-multiply the equality

\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{b}{d}

Después de simplificar, la igualdad queda determinada por

x(ad-bc)=0

After cancellation, equality is governed by

x(ad-bc)=0

Donde las fracciones están definidas, la igualdad exigiría

d(ax+b)=b(cx+d),

que se simplifica a

x(ad-bc)=0.

En la opción A,

a=c=1

da

ad-bc=d-b\ne0,

y

x\ne0,

por lo que la igualdad es imposible. Cada una de las opciones B a E, en cambio, fuerza directamente la igualdad.

Por lo tanto, las fracciones son desiguales bajo la condición de la opción A.

Where the fractions are defined, equality would require

d(ax+b)=b(cx+d),

which simplifies to

x(ad-bc)=0.

Under choice A,

a=c=1

gives

ad-bc=d-b\ne0,

and

x\ne0,

so equality is impossible. Each of B through E instead forces equality directly.

Thus, the fractions are unequal under choice A.

El Problema 40 en otros años