Question

级数

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3 + 6k^2 + 8k}$

可以表示为 $\dfrac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是互质的正整数。求 $a + b$ 。

The sum

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3 + 6k^2 + 8k}$

can be expressed as $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a + b?$

$89$

$97$

$102$

$107$

$129$

答案：D

知识点：部分分式裂项相消

难度评级：1600

解答：

分解 $k^3 + 6k^2 + 8k = k(k + 2)(k + 4)$ ，并作部分分式分解： $\dfrac{1}{k(k + 2)(k + 4)} = \dfrac{1/8}{k}$ $- \dfrac{1/4}{k + 2}$ $+ \dfrac{1/8}{k + 4}$ 。对所有 $k$ 求和时， $\tfrac1n$ 在 $n \ge 5$ 的系数都会相消，所以只剩前几项： $\tfrac18\left(1 + \tfrac12 - \tfrac13 - \tfrac14\right)$ $= \tfrac18 \cdot \tfrac{11}{12} = \tfrac{11}{96}$ 。因此 $a + b = 11 + 96 = 107$ ，正确答案是 D。

Factor $k^3 + 6k^2 + 8k = k(k + 2)(k + 4),$ then split into partial fractions: $\dfrac{1}{k(k + 2)(k + 4)} = \dfrac{1/8}{k}$ $- \dfrac{1/4}{k + 2}$ $+ \dfrac{1/8}{k + 4}.$ Summing over all $k,$ the coefficient of $\tfrac1n$ cancels for $n \ge 5,$ so only the first few terms survive: $\tfrac18\left(1 + \tfrac12 - \tfrac13 - \tfrac14\right)$ $= \tfrac18 \cdot \tfrac{11}{12} = \tfrac{11}{96}.$ So $a + b = 11 + 96 = 107.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10B 第 15 题

答案：D

难度评级：1600

解答：

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