Question

从正方形 $ABCD$ 内随机选择一点 $P$ 。若 $AP$ 既不是 $\triangle APB$ 的最短边，也不是最长边，则这个概率可以写成 $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e}$ ，其中 $a, b, c, d$ 和 $e$ 是正整数， $\gcd(a, b, c, e) = 1$ ，且 $d$ 不被任何质数的平方整除。 $a + b + c + d + e$ 等于多少？

A point $P$ is chosen at random inside square $ABCD.$ The probability that $AP$ is neither the shortest nor the longest side of $\triangle APB$ can be written as $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e},$ where $a, b, c, d,$ and $e$ are positive integers, $\gcd(a, b, c, e) = 1,$ and $d$ is not divisible by the square of a prime. What is $a + b + c + d + e?$

$25$

$26$

$27$

$28$

$29$

答案：A

知识点：几何概率扇形等边三角形

难度评级：2600

解答：

将 $A = (0,0)$ 、 $B = (1,0)$ 放在单位正方形中。 $AP$ 是中间长度，当且仅当 $BP \lt AP \lt AB$ 或 $AB \lt AP \lt BP$ 。这两个条件给出的区域由以 $A$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆（其中 $AP = AB$ ）和垂直平分线 $x = \tfrac12$ （其中 $AP = BP$ ）围出。设 $S$ 是该圆与 $x = \tfrac12$ 的交点，则 $\triangle ABS$ 为等边三角形，所以相关扇形角为 $\angle BAS = 60^\circ$ 。计算这些区域面积，较大区域为 $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ ，较小区域为 $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}$ 。相加得概率 $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}$ 。因此 $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25$ ，所以正确答案是 A。

Place $A = (0,0)$ and $B = (1,0)$ on the unit square. $AP$ is the middle length when $BP \lt AP \lt AB$ or $AB \lt AP \lt BP.$ These regions are bounded by the circle centered at $A$ with radius $1$ (where $AP = AB$ ) and the line $x = \tfrac12$ (where $AP = BP$ ). Let $S$ be where the circle meets $x = \tfrac12.$ Then $\triangle ABS$ is equilateral, so $\angle BAS = 60^\circ.$ The larger region has area $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ and the smaller has area $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}.$ They add to $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}.$ Thus $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25.$ Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 10A 第 25 题

答案：A

难度评级：2600

解答：

其他年份的第 25 题