2025 AMC 10A 第 22 题

Question

一个半径为

r

的圆被三个圆围住，这三个圆的半径分别为

1

，

2

和

3

，它们都与内圆外切，并且彼此也外切，如图所示。

r

等于多少？

A circle of radius

r

is surrounded by three circles, whose radii are

1,

2,

and

3,

all externally tangent to the inner circle and externally tangent to each other, as shown in the diagram below.

What is

r?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{6}{23}

\dfrac{3}{11}

\dfrac{5}{17}

\dfrac{3}{10}

答案：B

知识点：相切圆坐标几何

难度评级：2120

小提示：

半径为

1, 2, 3

的三个圆的圆心两两相距

3, 4, 5

，形成一个直角三角形。

The centers of the radius-

1, 2, 3

circles are pairwise

3, 4, 5

apart, forming a right triangle

大提示：

把直角顶点放在原点，并为内圆圆心写出距离方程；也可以应用四个相切圆的曲率关系。

Place the right angle at the origin and write distance equations for the inner center, or apply the four-circle curvature relation

解答：

三个外圆圆心

A, B, C

的两两距离分别为

AB = 1 + 2 = 3

，

AC = 1 + 3 = 4

，

BC = 2 + 3 = 5

，构成

3

-

4

-

5

直角三角形。现在对四个相互相切的圆应用笛卡尔圆定理，曲率分别为

1, \tfrac12, \tfrac13

，以及

\tfrac1r

：

\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13

+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}

= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}

= \tfrac{23}{6}

。取倒数得

r = \tfrac{6}{23}

。因此正确答案是 B。

The three outer centers

A, B, C

are pairwise

AB = 1 + 2 = 3,

AC = 1 + 3 = 4,

and

BC = 2 + 3 = 5

apart, a

3

-

4

-

5

right triangle. Now apply Descartes’ Circle Theorem with curvatures

1, \tfrac12, \tfrac13,

and

\tfrac1r,

all mutually tangent:

\frac1r = 1 + \tfrac12 + \tfrac13

+ 2\sqrt{\tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac13}

= \tfrac{11}{6} + 2\sqrt{1}

= \tfrac{23}{6}.

Inverting,

r = \tfrac{6}{23}.

Therefore, the answer is B.

2025 AMC 10A 第 22 题

答案：B

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

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