Question

编号为 $1, 2, 3, \ldots$ 的球按照以下过程放入标为 $A, B, C, D,$ 和 $E,$ 的 $5$ 个箱子。球 $1$ 放入箱子 $A,$ 球 $2$ 和 $3$ 放入箱子 $B.$ 接下来的 $3$ 个球放入箱子 $C,$ 再接下来的 $4$ 个放入箱子 $D,$ 依此类推；球放入箱子 $E.$ 后再循环回箱子 $A$ 。（例如，在这个过程的第 $7$ 步，编号为 $22, 23, \ldots, 28$ 的球放入箱子 $B$ 。）球 $2024$ 放入哪个箱子？

Balls numbered $1, 2, 3, \ldots$ are deposited in $5$ bins, labeled $A, B, C, D,$ and $E,$ using the following procedure. Ball $1$ is deposited in bin $A,$ and balls $2$ and $3$ are deposited in bin $B.$ The next $3$ balls are deposited in bin $C,$ the next $4$ in bin $D,$ and so on, cycling back to bin $A$ after balls are deposited in bin $E.$ (For example, balls numbered $22, 23, \ldots, 28$ are deposited in bin $B$ at step $7$ of this process.) In which bin is ball $2024$ deposited?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

答案：D

知识点：三角形数模运算

难度评级：1130

解答：

第 $g$ 组含有 $g$ 个球，因此前 $g$ 组一共用掉 $\tfrac{g(g+1)}{2}$ 个球。现在 $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ ，而 $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080$ ，所以球 $2024$ 在第 $64$ 组中（球 $2017$ 到 $2080$ ）。盒子按 $A, B, C, D, E$ 循环，所以第 $g$ 组进入编号为 $(g - 1) \bmod 5$ 的盒子。对 $g = 64$ ，有 $63 \bmod 5 = 3$ ，即盒子 $D$ 。因此正确答案是 D。

Group $g$ holds $g$ balls, so the first $g$ groups swallow $\tfrac{g(g+1)}{2}$ of them. Now $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ which puts ball $2024$ in group $64$ (balls $2017$ through $2080$ ). The bins cycle $A, B, C, D, E,$ so group $g$ lands in bin number $(g - 1) \bmod 5.$ For $g = 64$ that's $63 \bmod 5 = 3,$ bin $D.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10B 第 4 题

答案：D

难度评级：1130

解答：

其他年份的第 4 题