2024 AMC 10B 第 18 题

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18.

一个整数的

100

次方除以

125

时，可能出现多少种不同的余数？

How many different remainders can result when the

100

th power of an integer is divided by

125?

1

2

5

25

125

答案：B

知识点：欧拉函数模幂运算分类讨论

难度评级：1840

小提示：

125 = 5^3

，且

\varphi(125) = 100

；把

n

与

5

互质和

n

被

5

整除两种情况分开。

125 = 5^3

and

\varphi(125) = 100;

split into

n

coprime to

5

and

n

divisible by

5

大提示：

若

\gcd(n, 5) = 1

，则

n^{100} \equiv 1

；若

n

是

5

的倍数，则

n^{100}

是

5^3

的倍数。

If

\gcd(n, 5) = 1,

then

n^{100} \equiv 1;

if

n

is divisible by

5,

then

n^{100}

is divisible by

5^3

解答：

这里

125 = 5^3

，且

\varphi(125) = 100

。若

\gcd(n, 5) = 1

，欧拉定理给出

n^{100} \equiv 1 \pmod{125}

。若

n

是

5

的倍数，则

n^{100}

含有因子

5^{100}

，因而含有

125

，所以

n^{100} \equiv 0 \pmod{125}

。因此只可能有

0

和

1

两种余数。正确答案是 B。

Here

125 = 5^3

and

\varphi(125) = 100.

If

\gcd(n, 5) = 1,

Euler’s theorem gives

n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.

And if

n

is divisible by

5,

then

n^{100}

carries a factor of

5^{100},

hence of

125,

so

n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.

That leaves only two possible remainders,

0

and

1.

Therefore, the answer is B.