Question

令 $\mathcal{K}$ 为由两个直角边分别为 $1$ 和 $\sqrt3$ 的直角三角形沿公共斜边拼成的风筝形。用八个 $\mathcal{K}$ 的副本拼成下图所示多边形。求三角形 $\triangle ABC$ 的面积。

Let $\mathcal{K}$ be the kite formed by joining two right triangles with legs $1$ and $\sqrt3$ along a common hypotenuse. Eight copies of $\mathcal{K}$ are used to form the polygon shown below. What is the area of $\triangle ABC?$

$2 + 3\sqrt3$

$\dfrac{9}{2}\sqrt3$

$\dfrac{10 + 8\sqrt3}{3}$

$8$

$5\sqrt3$

答案：B

知识点：筝形特殊直角三角形坐标几何三角形面积

难度评级：2120

解答：

每个风筝的一半都是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，所以各边具有图示的长度和方向。取 $A=(0,0)$ ，并令 $AB$ 水平。图形的水平跨度为六个单位长度，所以 $B=(6,0).$ 沿着从 $A$ 到 $C,$ 的外边界，三条边的向量分别为 $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ 和 $(1,0).$ 它们的和为 $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ 所以 $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ 因此 $AB=6$ ，从 $C$ 作出的高为 $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ 面积为 $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ 所以答案是 B。

Each half of a kite is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so its edges have the shown lengths and directions. Take $A=(0,0)$ and $AB$ horizontal. The horizontal span in the figure is six unit lengths, so $B=(6,0).$ Along the outer boundary from $A$ to $C,$ the three edges have vectors $\sqrt3(\cos30^\circ,\sin30^\circ),$ $\sqrt3(\cos90^\circ,\sin90^\circ),$ and $(1,0).$ Their sum is $(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}),$ so $C=(\tfrac52,\tfrac{3\sqrt3}{2}).$ Thus $AB=6$ and the altitude from $C$ is $\tfrac{3\sqrt3}{2},$ giving area $\tfrac12\cdot6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}=\tfrac{9\sqrt3}{2}.$ Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10A 第 22 题

答案：B

难度评级：2120

解答：

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