2023 AMC 10A 第 4 题

Question

一个四边形的所有边长都是整数，周长为

26

，其中一条边长为

4

。这个四边形的一条边的最大可能长度是多少？

A quadrilateral has all integer side lengths, a perimeter of

26,

and one side of length

4.

What is the greatest possible length of one side of this quadrilateral?

9

10

11

12

13

在任意四边形中，每条边都小于另外三条边之和

In any quadrilateral, each side is less than the sum of the other three

若最长边为

s

，另外三条边之和为

26 - s

，所以

s \lt 26 - s

。

If the longest side is

s,

the other three sum to

26 - s,

so

s \lt 26 - s

在任意四边形中，每条边都短于另外三条边之和。设最长边为

s

。其余边长之和为

26 - s

，所以

s \lt 26 - s

，得到

s \lt 13

，因此

s \le 12

。能否达到

12

呢？边长

4, 12, 9, 1

可行，因为

12 \lt 4 + 9 + 1

。所以最大长度为

12

。因此，答案是 D。

In any quadrilateral each side is shorter than the sum of the other three. Call the longest side

s.

The rest sum to

26 - s,

so

s \lt 26 - s,

which gives

s \lt 13

and hence

s \le 12.

Can we hit

12?

The sides

4, 12, 9, 1

work, since

12 \lt 4 + 9 + 1.

So the greatest length is

12.

Therefore, the answer is D.

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