Question

圆 $C_1$ 和 $C_2$ 的半径都是 $1$ ，两圆圆心距离为 $\frac{1}{2}$ 。圆 $C_3$ 是同时内切于 $C_1$ 和 $C_2$ 的最大圆。圆 $C_4$ 同时内切于 $C_1$ 和 $C_2$ ，并且外切于 $C_3$ 。 $C_4$ 的半径是多少？

Circle $C_1$ and $C_2$ each have radius $1,$ and the distance between their centers is $\frac{1}{2}.$ Circle $C_3$ is the largest circle internally tangent to both $C_1$ and $C_2.$ Circle $C_4$ is internally tangent to both $C_1$ and $C_2$ and externally tangent to $C_3.$ What is the radius of $C_4?$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{3}{28}$

$\dfrac{1}{9}$

答案：D

知识点：相切圆坐标几何对称性

难度评级：2270

解答：

把 $C_1, C_2$ 的圆心放在 $\left(\pm\frac14, 0\right)$ 。由对称性，位于两圆内部的最大圆以原点为圆心，半径为 $r_3$ ，其中 $1 - r_3 = \frac14$ ，所以 $r_3 = \frac34$ 。设 $C_4$ 圆心为 $(0, y)$ ，半径为 $r$ 。与 $C_1$ 内切给出 $\sqrt{\frac1{16} + y^2} = 1 - r$ ，与 $C_3$ 外切给出 $y = \frac34 + r$ 。把第二个方程代入第一个： $\frac1{16} + \left(\frac34 + r\right)^2 = (1 - r)^2$ 。化简得 $\frac72 r = \frac38$ ，所以 $r = \frac{3}{28}$ 。因此，答案是 D。

Put the centers of $C_1, C_2$ at $\left(\pm\frac14, 0\right).$ By symmetry the largest circle inside both sits at the origin with radius $r_3,$ where $1 - r_3 = \frac14,$ so $r_3 = \frac34.$ Let $C_4$ be centered at $(0, y)$ with radius $r.$ Internal tangency to $C_1$ gives $\sqrt{\frac1{16} + y^2} = 1 - r,$ and external tangency to $C_3$ gives $y = \frac34 + r.$ Substitute the second into the first: $\frac1{16} + \left(\frac34 + r\right)^2 = (1 - r)^2.$ This collapses to $\frac72 r = \frac38,$ so $r = \frac{3}{28}.$ Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A 第 22 题

答案：D

难度评级：2270

解答：

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