2023 AMC 10A 第 18 题

Question

菱形十二面体是一个有

12

个全等菱形面的立体。在每个顶点处，根据顶点不同，会有

3

条或

4

条棱相交。恰有

3

条棱相交的顶点有多少个？

A rhombic dodecahedron is a solid with

12

congruent rhombus faces. At every vertex,

3

or

4

edges meet, depending on the vertex. How many vertices have exactly

3

edges meeting?

5

6

7

8

9

答案：D

知识点：欧拉多面体公式多面体图论双重计数

难度评级：1660

小提示：

这个立体有

12

个面和

24

条棱；用欧拉公式求顶点数

The solid has

12

faces and

24

edges; use Euler’s formula to get the number of vertices

大提示：

若

x

个顶点度数为

3

，其余顶点度数为

4

，则所有顶点度数之和为

2 \cdot 24

。

If

x

vertices have degree

3

and the rest degree

4,

the sum of all degrees is

2 \cdot 24

解答：

每个菱形有

4

条边，每条棱由

2

个面共享，所以

E = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24

。已知

F = 12

，由欧拉公式得

V = 2 - F + E = 14

。设

x

个顶点有

3

条棱相交，其余

14 - x

个顶点有

4

条棱相交。度数之和等于棱数的两倍：

3x + 4(14 - x) = 2E = 48

，所以

x = 8

。因此，答案是 D。

Each rhombus has

4

edges, and every edge is shared by

2

faces, so

E = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24.

With

F = 12,

Euler’s formula gives

V = 2 - F + E = 14.

Suppose

x

vertices have

3

edges and the other

14 - x

have

4.

The degrees sum to twice the edge count:

3x + 4(14 - x) = 2E = 48,

so

x = 8.

Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A 第 18 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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