Question

求的值。 $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

What is the value of $\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt{15}$

$4$

$\sqrt{105}$

答案：B

知识点：平方差根式

难度评级：1280

解答：

对分母中的各因子使用平方差公式，可得 $E$ 。 $1-1/p^2=(1-1/p)(1+1/p)$ $E=2$ 。 $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+1/p}{1-1/p}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$

分子则可写成所以答案是 B。

Let the given positive expression be $E.$ Squaring it and using $1-1/p^2=(1-1/p)(1+1/p)$ gives $\begin{aligned} E^2&=\prod_{p\in\{3,5,7\}}\frac{1+1/p}{1-1/p}\\ &=\frac42\cdot\frac64\cdot\frac86=4. \end{aligned}$ Hence $E=2.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B 第 5 题

答案：B

难度评级：1280

解答：

其他年份的第 5 题