2022 AMC 10B 第 25 题

Question

设

x_0

、

x_1

、

x_2

、

\dotsc

是一个数列，其中每个

x_k

都是

0

或

1

。对每个正整数

n

，定义

S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k

假设对所有

n \geq 1

，都有

7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}

。求下式的值：

x_{2019} + 2x_{2020} +

4x_{2021} + 8x_{2022}\text{？}

Let

x_0,

x_1,

x_2,

\dotsc

be a sequence of numbers, where each

x_k

is either

0

or

1.

For each positive integer

n,

define

S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k

Suppose

7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}

for all

n \geq 1.

What is the value of the sum

x_{2019} + 2x_{2020} +

4x_{2021} + 8x_{2022}?

6

7

12

14

15

答案：A

知识点：模运算进制 2的幂

难度评级：2390

小提示：

求出

S_{2019}

和

S_{2023}

，再相减以分离这四个二进制位

Find

S_{2019}

and

S_{2023},

then subtract to isolate the four digits

大提示：

这个同余式刻画了

7

的二进制逆元的各位数字

The congruence defines the binary digits of the inverse of

7

解答：

所求的和为

\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}\text{。}

此外，

0\le S_n<2^n

。

因此，存在唯一的

m_n\in\{0,1,\ldots,6\}

，使得

7S_n=m_n2^n+1\text{。}

模

7

化简得到

m_n2^n\equiv-1\pmod7

。

因为

2^3\equiv1\pmod7

，且

2019\equiv0\pmod3

，所以

m_{2019}=6

。又因为

2023\equiv1\pmod3

，所以

2m_{2023}\equiv-1\pmod7

，从而

m_{2023}=3

。因此

\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}\end{gathered}\text{。}

最后，

\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6\text{。}

所以正确答案是 A。

The desired sum is

\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}.

Also,

0\le S_n<2^n.

Therefore, for a unique

m_n\in\{0,1,\ldots,6\},

7S_n=m_n2^n+1.

Reducing modulo

7

gives

m_n2^n\equiv-1\pmod7.

Since

2^3\equiv1\pmod7

and

2019\equiv0\pmod3,

we get

m_{2019}=6.

Since

2023\equiv1\pmod3,

we have

2m_{2023}\equiv-1\pmod7,

so

m_{2023}=3.

Hence

\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}.\end{gathered}

Finally,

\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6.

Thus, the correct answer is A .

2022 AMC 10B 第 25 题

答案：A

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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