Question

正整数 $n$ 与 $18$ 的最小公倍数为 $180$ ，且 $n$ 与 $45$ 的最大公因数为 $15$ 。求 $n$ 的各位数字之和。

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

答案：B

知识点：最小公倍数最大公约数质因数分解

难度评级：1140

解答：

分解质因数： $18=2\cdot3^2$ ， $45=3^2\cdot5$ ， $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ 。

最小公倍数条件要求 $n$ 中质因数 $2$ 的指数为 $2$ ，质因数 $5$ 的指数为 $1$ ，质因数 $3$ 的指数至多为 $2$ ，其他质因数的指数均为 $0$ 。最大公因数条件 $\gcd(n,45)=15=3\cdot5$ 进一步要求质因数 $3$ 在 $n$ 中的指数恰为 $1$ 。

因此 $n=2^2\cdot3\cdot5=60$ 各位数字之和为 $6$ 。

所以正确答案是 B。

Prime factorize $18=2\cdot3^2,$ $45=3^2\cdot5,$ and $180=2^2\cdot3^2\cdot5.$

The lcm condition forces the exponent of $2$ in $n$ to be $2,$ the exponent of $5$ to be $1,$ the exponent of $3$ to be at most $2,$ and every other prime exponent to be $0.$ The gcd condition $\gcd(n,45)=15=3\cdot5$ further forces the exponent of $3$ in $n$ to be exactly $1.$

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ and the sum of its digits is $6.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 7 题

答案：B

难度评级：1140

解答：

其他年份的第 7 题