Question

设 $\triangle ABC$ 是不等边三角形。点 $P$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{AP}$ 平分 $\angle BAC$ 。过 $B$ 作垂直于 $\overline{AP}$ 的直线，与过 $A$ 且平行于 $\overline{BC}$ 的直线交于点 $D$ 。若 $BP = 2$ 且 $PC = 3$ ，求 $AD$ 。

Let $\triangle ABC$ be a scalene triangle. Point $P$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{AP}$ bisects $\angle BAC.$ The line through $B$ perpendicular to $\overline{AP}$ intersects the line through $A$ parallel to $\overline{BC}$ at point $D.$ Suppose $BP = 2$ and $PC = 3.$ What is $AD?$

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答案：C

知识点：角平分线定理相似等腰三角形

难度评级：1540

解答：

参考下图：

设 $Y$ 为 $\overline{BD}$ 与 $\overline{AC}.$ 的交点。由角平分线定理， $AB:AC=BP:PC=2:3,$ 所以设 $AB=2x$ 、 $AC=3x.$

关于角平分线 $\overline{AP}$ 的反射把射线 $AB$ 映到射线 $AC.$ 因为 $BY\perp AP,$ 它把 $B$ 映到 $Y.$ 所以 $AY=AB=2x,$ 从而 $YC=AC-AY=x.$

因为 $AD\parallel BC,$ 且 $B,Y,D$ 共线、 $A,Y,C$ 共线，所以 $\triangle BYC\sim\triangle DYA.$ 因此 $\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.$

最后， $BC=BP+PC=5,$ 所以 $AD=2BC=10.$

所以正确答案是 C。

Consider the following diagram:

Let $Y$ be the intersection of $\overline{BD}$ and $\overline{AC}.$ By the Angle Bisector Theorem, $AB:AC=BP:PC=2:3,$ so write $AB=2x$ and $AC=3x.$

Reflection across the angle bisector $\overline{AP}$ sends ray $AB$ to ray $AC.$ Because $BY\perp AP,$ it sends $B$ to $Y.$ Thus $AY=AB=2x,$ and hence $YC=AC-AY=x.$

Since $AD\parallel BC,$ with $B,Y,D$ collinear and $A,Y,C$ collinear, we have $\triangle BYC\sim\triangle DYA.$ Therefore $\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.$

Finally, $BC=BP+PC=5,$ so $AD=2BC=10.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 13 题

答案：C

难度评级：1540

解答：

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