2022 AMC 10A 第 13 题

Question

设

\triangle ABC

是不等边三角形。点

P

在

\overline{BC}

上，且

\overline{AP}

平分

\angle BAC

。过

B

作垂直于

\overline{AP}

的直线，与过

A

且平行于

\overline{BC}

的直线交于点

D

。若

BP = 2

且

PC = 3

，求

AD

。

Let

\triangle ABC

be a scalene triangle. Point

P

lies on

\overline{BC}

so that

\overline{AP}

bisects

\angle BAC.

The line through

B

perpendicular to

\overline{AP}

intersects the line through

A

parallel to

\overline{BC}

at point

D.

Suppose

BP = 2

and

PC = 3.

What is

AD?

8

9

10

11

12

答案：C

知识点：角平分线定理相似等腰三角形

难度评级：1540

小提示：

对三角形 ABC 使用角平分线定理

Use the angle bisector theorem on triangle ABC

大提示：

在最后使用相似之前，这条垂线会先构成一个等腰三角形

The perpendicular line creates an isosceles triangle before the final similarity

解答：

参考下图：

设

Y

为

\overline{BD}

与

\overline{AC}

的交点。由角平分线定理，

AB:AC=BP:PC=2:3

，所以设

AB=2x

、

AC=3x

。

关于角平分线

\overline{AP}

的反射把射线

AB

映到射线

AC

。因为

BY\perp AP

，它把

B

映到

Y

。所以

AY=AB=2x

，从而

YC=AC-AY=x

。

因为

AD\parallel BC

，且

B,Y,D

共线、

A,Y,C

共线，所以

\triangle BYC\sim\triangle DYA

。因此

\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2\text{。}

最后，

BC=BP+PC=5

，所以

AD=2BC=10

。

所以正确答案是 C。

Consider the following diagram:

Let

Y

be the intersection of

\overline{BD}

and

\overline{AC}.

By the Angle Bisector Theorem,

AB:AC=BP:PC=2:3,

so write

AB=2x

and

AC=3x.

Reflection across the angle bisector

\overline{AP}

sends ray

AB

to ray

AC.

Because

BY\perp AP,

it sends

B

to

Y.

Thus

AY=AB=2x,

and hence

YC=AC-AY=x.

Since

AD\parallel BC,

with

B,Y,D

collinear and

A,Y,C

collinear, we have

\triangle BYC\sim\triangle DYA.

Therefore

\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.

Finally,

BC=BP+PC=5,

so

AD=2BC=10.

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 13 题

答案：C

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题