2022 AMC 10A 第 11 题

Question

Ted 错把

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

写成了

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}\text{。}

求使这两个表达式值相等的所有实数

m

之和。

Ted mistakenly wrote

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

as

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.

What is the sum of all real numbers

m

for which these two expressions have the same value?

5

6

7

8

9

答案：C

知识点：指数二次方程

难度评级：1280

小提示：

将

4096

改写为

2

的幂

Rewrite

4096

as a power of

2

大提示：

把

2

的幂次配平后，解出关于 m 的二次方程

After matching powers of

2,

solve the resulting quadratic equation in m

解答：

可将

4096

写成

2^{12}

，所以

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}

。令两个给定表达式相等，得到

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}\text{。}

比较指数得

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}\text{。}

两边乘以

m

，得到

m^2 - 6m = m - 12

因而

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

因此，所有解的和为

7

。

所以正确答案是 C。

We can rewrite

4096

as

2^{12},

so

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.

Then if we equate the given expressions, we get

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.

Equating the exponents, we get

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.

Multiplying by

m,

we get

m^2 - 6m = m - 12

and so

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

Therefore, we can see that the sum of the solutions is

7.

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A 第 11 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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