2021 AMC 10B Fall 第 22 题

Question

对每个整数

n\ge2

，令

S_n

为所有乘积

jk

的和，其中

j

和

k

是整数，且

1\le j<k\le n

。使

S_n

能被

3

整除的最小

10

个

n

的值之和是多少？

For each integer

n\ge2,

let

S_n

be the sum of all products

jk,

where

j

and

k

are integers and

1\le j<k\le n.

What is the sum of the

10

least values of

n

such that

S_n

is divisible by

3?

\ 196

\ 197

\ 198

\ 199

\ 200

答案：B

知识点：模运算求和找规律

难度评级：1950

小提示：

找出从前一项到

S_n

时新加入的

k=n

项如何改变和。

Find how

S_n

changes when terms with

k=n

are added

大提示：

只有

n\equiv2\pmod3

时，模

3

的值会改变。

Only

n\equiv2\pmod3

changes the value modulo

3

解答：

从

S_{n-1}

到

S_n

，新加入的项为

jn

，其中

1\le j\lt n

。

\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2 \end{gathered}\text{。}

模

3

看，这个增量为

0

的情形是

n\equiv0

或

1\pmod3

，而增量为

2

的情形是

n\equiv2\pmod3

。

因为

S_2=2

，在第

3

次遇到与

2\pmod3

同余的数时，也就是

n=8

，

S_n

开始能被

3

整除。之后

n=8,9,10

都满足，并且这个模式每隔

9

个

n

重复一次。

最小的十个值为

8,9,10,17,18,19,26,27,28,35

。它们的和为

197

。

所以答案是 B。

When passing from

S_{n-1}

to

S_n,

the new terms are

jn

for

1\le j\lt n.

Their sum is

\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}

Modulo

3,

this increment is

0

when

n\equiv0

or

1\pmod3,

and is

2

when

n\equiv2\pmod3.

Since

S_2=2,

the sequence becomes divisible by

3

after the third occurrence of a number congruent to

2\pmod3,

namely at

n=8.

Then

S_n

stays divisible by

3

for

n=8,9,10,

and the same pattern repeats every

9

in

n.

The ten least values are

8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.