Question

对每个整数 $n\ge2,$ 令 $S_n$ 为所有乘积 $jk,$ 的和，其中 $j$ 和 $k$ 是整数，且 $1\le j<k\le n.$ 使 $S_n$ 能被 $3?$ 整除的最小 $10$ 个 $n$ 值之和是多少？

For each integer $n\ge2,$ let $S_n$ be the sum of all products $jk,$ where $j$ and $k$ are integers and $1\le j<k\le n.$ What is the sum of the $10$ least values of $n$ such that $S_n$ is divisible by $3?$

$\ 196$

$\ 197$

$\ 198$

$\ 199$

$\ 200$

答案：B

知识点：模运算求和找规律

难度评级：1950

解答：

从 $S_{n-1}$ 到 $S_n$ ，新加入的项为 $jn$ ，其中 $1\le j\lt n$ 。 $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

模 $3$ 看，这个增量为 $0$ 的情形是 $n\equiv0$ 或 $1\pmod3$ ，而增量为 $2$ 的情形是 $n\equiv2\pmod3$ 。

因为 $S_2=2$ ，在第 $3$ 次遇到与 $2\pmod3$ 同余的数时，也就是 $n=8$ ， $S_n$ 开始能被 $3$ 整除。之后 $n=8,9,10$ 都满足，并且这个模式每隔 $9$ 个 $n$ 重复一次。

最小的十个值为 $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35$ 。它们的和为 $197$ 。

所以答案是 B。

When passing from $S_{n-1}$ to $S_n,$ the new terms are $jn$ for $1\le j\lt n.$ Their sum is $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Modulo $3,$ this increment is $0$ when $n\equiv0$ or $1\pmod3,$ and is $2$ when $n\equiv2\pmod3.$

Since $S_2=2,$ the sequence becomes divisible by $3$ after the third occurrence of a number congruent to $2\pmod3,$ namely at $n=8.$ Then $S_n$ stays divisible by $3$ for $n=8,9,10,$ and the same pattern repeats every $9$ in $n.$

The ten least values are $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.$ Their sum is $197.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall 第 22 题

答案：B

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 22 题