2021 AMC 10B Spring 第 13 题

Question

设

n

是正整数，

d

是一个数字。以

n

为底的数

\underline{32d}

的值等于

263

，并且以

n

为底的数

\underline{324}

的值等于以六为底的数

\underline{11d1}

的值。

n + d

等于多少？

Let

n

be a positive integer and

d

be a digit such that the value of the numeral

\underline{32d}

in base

n

equals

263,

and the value of the numeral

\underline{324}

in base

n

equals the value of the numeral

\underline{11d1}

in base six. What is

n + d ?

10

11

13

15

16

答案：B

知识点：进制方程组

难度评级：1280

小提示：

把每个进制表示的数都转换成十进制。

Translate each base numeral into base ten

大提示：

将两个方程相减，先求出这个数字。

Subtract the two equations to solve for the digit first

视频讲解：

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文字解答：

第一个条件表示

3n^2 + 2n+d = 263\text{。}

类似地，第二个条件表示

3n^2 +2n +4

= 6^3 +6^2 +6d+1

= 253 + 6d\text{。}

两式相减得

4-d = 6d-10

7d = 14

d=2\text{。}

因此

3n^2 + 2n + 2 = 263

，所以

n(3n+2) = 261

。

这给出

n=9

。因此

n+d = 11

。

所以答案是 B。

The first statement means

3n^2 + 2n+d = 263.

Similarly, the second statement means

3n^2 +2n +4

= 6^3 +6^2 +6d+1

= 253 + 6d.

Subtracting these shows us that

4-d = 6d-10

7d = 14

d=2.

Therefore,

3n^2 + 2n + 2 = 263,

so

n(3n+2) = 261.

This implies

n=9.