Question

设 $n$ 是正整数， $d$ 是一个数字。以 $n$ 为底的数 $\underline{32d}$ 的值等于 $263$ ，并且以 $n$ 为底的数 $\underline{324}$ 的值等于以六为底的数 $\underline{11d1}$ 的值。 $n + d$ 等于多少？

Let $n$ be a positive integer and $d$ be a digit such that the value of the numeral $\underline{32d}$ in base $n$ equals $263,$ and the value of the numeral $\underline{324}$ in base $n$ equals the value of the numeral $\underline{11d1}$ in base six. What is $n + d ?$

$10$

$11$

$13$

$15$

$16$

答案：B

知识点：进制方程组

难度评级：1280

视频讲解：

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文字解答：

第一个条件表示 $3n^2 + 2n+d = 263.$

类似地，第二个条件表示 $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

两式相减得因此 $3n^2 + 2n + 2 = 263$ ，所以 $n(3n+2) = 261$ 。 $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$

这给出 $n=9$ 。因此 $n+d = 11$ 。

所以答案是 B。

The first statement means $3n^2 + 2n+d = 263.$

Similarly, the second statement means $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

Subtracting these shows us that $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$ Therefore, $3n^2 + 2n + 2 = 263,$ so $n(3n+2) = 261.$

This implies $n=9.$ Therefore, $n+d = 11.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring 第 13 题

答案：B

难度评级：1280

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