2021 AMC 10A Spring 第 13 题

Question

四面体

ABCD

的边长为

AB = 2

、

AC = 3

、

AD = 4

、

BC = \sqrt{13}

、

BD = 2\sqrt{5}

、

CD = 5

。它的体积是多少？

What is the volume of tetrahedron

ABCD

with edge lengths

AB = 2,

AC = 3,

AD = 4,

BC = \sqrt{13},

BD = 2\sqrt{5},

and

CD = 5?

3

2\sqrt{3}

4

3\sqrt{3}

6

答案：C

知识点：体积立体几何勾股定理

难度评级：1370

小提示：

尝试把

A

放在原点，并让

AB,AC,AD

沿三条互相垂直的坐标轴。

Try placing

A

at the origin with

AB,AC,AD

along perpendicular axes

大提示：

检查给出的三条对边长度是否符合这个直角顶点模型。

Check that the given opposite edge lengths match this rectangular-corner model

视频讲解：

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文字解答：

取

A=(0,0,0)

、

B=(2,0,0)

、

C=(0,3,0)

和

D=(0,0,4)

。则

\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5 \end{aligned}\text{，}

所以这个坐标模型与题目给出的所有棱长相符。三条从

A

出发的棱互相垂直，长度分别为

2,3,4

，因此体积为

\frac16(2)(3)(4)=4\text{。}

所以正确答案是 C。

Place

A=(0,0,0),

B=(2,0,0),

C=(0,3,0),

and

D=(0,0,4).

Then

\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}

so this coordinate model matches all the given edge lengths. The tetrahedron is a rectangular-corner tetrahedron with perpendicular edge lengths

2,3,4

from

A,

so its volume is

\frac16(2)(3)(4)=4.

Thus, C is the correct answer.