Question

四面体 $ABCD$ 的边长为 $AB = 2$ 、 $AC = 3$ 、 $AD = 4$ 、 $BC = \sqrt{13}$ 、 $BD = 2\sqrt{5}$ 、 $CD = 5$ 。它的体积是多少？

What is the volume of tetrahedron $ABCD$ with edge lengths $AB = 2,$ $AC = 3,$ $AD = 4,$ $BC = \sqrt{13},$ $BD = 2\sqrt{5},$ and $CD = 5?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

答案：C

知识点：体积立体几何勾股定理

难度评级：1370

视频讲解：

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文字解答：

取 $A=(0,0,0)$ 、 $B=(2,0,0)$ 、 $C=(0,3,0)$ 和 $D=(0,0,4)$ 。则

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

所以这个坐标模型与题目给出的所有棱长相符。三条从 $A$ 出发的棱互相垂直，长度分别为 $2,3,4$ ，因此体积为

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

所以正确答案是 C。

Place $A=(0,0,0),$ $B=(2,0,0),$ $C=(0,3,0),$ and $D=(0,0,4).$ Then

$\begin{aligned} BC &= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}, \\ BD &= \sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5, \\ CD &= \sqrt{3^2+4^2}=5, \end{aligned}$

so this coordinate model matches all the given edge lengths. The tetrahedron is a rectangular-corner tetrahedron with perpendicular edge lengths $2,3,4$ from $A,$ so its volume is

$\frac16(2)(3)(4)=4.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 13 题

答案：C

难度评级：1370

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