Question

设 $(a,b,c,d)$ 为一个有序四元组，其中每个数都是集合 $\{0,1,2,3\}$ 中的整数，且不要求互不相同。有多少个这样的四元组满足 $a\cdot d-b\cdot c$ 为奇数？例如， $(0,3,1,1)$ 是一个这样的四元组，因为 $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ 为奇数。

Let $(a,b,c,d)$ be an ordered quadruple of not necessarily distinct integers, each one of them in the set $\{0,1,2,3\}.$ For how many such quadruples is it true that $a\cdot d-b\cdot c$ is odd? (For example, $(0,3,1,1)$ is one such quadruple, because $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ is odd.)

$48$

$64$

$96$

$128$

$192$

答案：C

知识点：奇偶性行列式乘法原理

难度评级：1540

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

只需考虑模 $2$ 的奇偶性。条件是 $ad-bc$ 为 $1$ ，也就是说矩阵 $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb F_2$ 上可逆。

可逆矩阵共有 $(4-1)(4-2)=6$ 个 $2\times2$ 矩阵，它们都定义在 $\mathbb F_2$ 上。每一种奇偶模式可提升为 $2^4=16$ 个取自 $\{0,1,2,3\}$ 的四元组。因此共有 $6\cdot16=96$ 个四元组。正确答案是 C。

Only parity matters. Modulo $2$ , the condition is that $ad-bc$ is $1$ , meaning the matrix $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ is invertible over $\mathbb F_2$ .

There are $(4-1)(4-2)=6$ invertible $2\times2$ matrices over $\mathbb F_2$ . Each parity pattern lifts to $2^4=16$ choices from $\{0,1,2,3\}$ , so there are $6\cdot16=96$ quadruples. Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 18 题

答案：C

难度评级：1540

视频讲解：

文字解答：

其他年份的第 18 题