2017 AMC 10A 第 13 题

Question

递归定义数列：

F_{0}=0

，

~F_{1}=1

，且对所有

n\geq 2

，

F_{n}=

F_{n-1}+F_{n-2}

除以

3

的余数。因此数列开头为

0

，

1

，

1

，

2

，

0

，

2

，

\ldots

。求

F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+

F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}\text{？}

Define a sequence recursively by

F_{0}=0,

~F_{1}=1,

and

F_{n}=

the remainder when

F_{n-1}+F_{n-2}

is divided by

3,

for all

n\geq 2.

Thus the sequence starts

0,

1,

1,

2,

0,

2,

\ldots.

What is

F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+

F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?

6

7

8

9

10

答案：D

知识点：斐波那契数列模运算找规律

难度评级：1140

小提示：

写出足够多的项，观察模

3

的周期。

Write out enough terms to see the period modulo

3

大提示：

要求和的八项正好覆盖一个完整周期。

The requested eight terms cover one complete period

解答：

先列出前几项，看看能否找到数列中的规律。

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots

因为

(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1)

，而之后的每一项都由前两项唯一确定，所以数列每

8

项重复一次。

所求是连续

8

项的和，这个和固定，为

0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2

+ 2 + 1 = 9\text{。}

所以正确答案是 D。

Let us list out the first few values to see if we can find a pattern in this sequence.

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots

The pair

(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1).

Because each later term is determined by the preceding two terms, the sequence therefore repeats every

8

terms.

The desired answer is the sum of

8

consecutive numbers, which is fixed. This sum is

0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2

+ 2 + 1 = 9.

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 13 题

答案：D

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

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