2016 AMC 10B 第 9 题

Question

\bigtriangleup ABC

的三个顶点都在抛物线

y=x^2

上，其中

A

在原点，且

\overline{BC}

平行于

x

轴。若三角形面积为

64

，则

BC

的长度是多少？

All three vertices of

\bigtriangleup ABC

lie on the parabola defined by

y=x^2,

with

A

at the origin and

\overline{BC}

parallel to the

x

-axis. The area of the triangle is

64.

What is the length of

BC?

\ 4

\ 6

\ 8

\ 10

\ 16

答案：C

知识点：抛物线三角形面积坐标几何

难度评级：1280

小提示：

使用对称点

(-t,t^2)

与

(t,t^2)

。

Use symmetric points

(-t,t^2)

and

(t,t^2)

大提示：

三角形的面积是

t^3

。

The triangle area is

t^3

解答：

设三个顶点为

A=(0,0)\text{，}

B=(x_1,y_1)\text{，}

C=(x_2,y_2)\text{。}

因为

BC

平行于

x

轴，所以

y_1=y_2

，记为

y

。又两点都在抛物线上，

x_1^2 = y=x_2^2

，即

x_1^2=x_2^2

。因此

x_1=-x_2

或

x_1 = x_2

。后一种会让两点重合，面积为

0

。所以令

x= -x_1=x_2

，同时

y=x^2

。

于是点为

A=(0,0)\text{，}

B=(-x,x^2)\text{，}

C=(x,x^2)\text{。}

以

BC

为底时，底长为

2x

，高为

x^2

，面积为

x^3 = 64

。因此

x=4

，所以

BC = 2\cdot 4 = 8

。

所以正确答案是 C。

Let the points be

A=(0,0),

B=(x_1,y_1),

C=(x_2,y_2).

Then, since

BC

is parallel with the

x

-axis, we know

y_1=y_2,

which we will let be

y.

Then,

x_1^2 = y=x_2^2,

so

x_1^2=x_2^2 .

This implies that either

x_1=-x_2

or

x_1 = x_2.

The second option cannot happen since that would set two points as the same, which would create an area of

0.

As such, let

x= -x_1=x_2.

Then

y=x^2

also.

Then, the points are

A=(0,0),

B=(-x,x^2),

C=(x,x^2).

With a base of

BC,

the length is

2x

and the height is

x^2.

This would make the area

x^3 = 64.

Therefore,

x=4,

so

BC = 2\cdot 4 = 8.

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B 第 9 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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