2015 AMC 10A 第 18 题

Question

十六进制（以

16

为底）数使用数字

0

到

9

，以及字母

A

到

F

表示

10

到

15

。前

1000

个正整数中，有

n

个数的这种表示只含数字字符。求

n

的各位数字之和。

Hexadecimal (base-

16

) numbers are written using numeric digits

0

through

9

as well as the letters

A

through

F

to represent

10

through

15.

Among the first

1000

positive integers, there are

n

whose hexadecimal representation contains only numeric digits. What is the sum of the digits of

n?

17

18

19

20

21

答案：E

知识点：进制数字基本计数

难度评级：1660

小提示：

统计到

3E8_{16}

为止的有效十六进制字符串。

Count valid hexadecimal strings up to

3E8_{16}

大提示：

计数前，先在较短的十六进制表示前补零。

Pad shorter hexadecimal representations with leading zeros before counting digit choices

解答：

在十六进制中，

1000=3E8_{16}

。把较短的表示在前面补零，补成三位数。从

000_{16}

到

399_{16}

的每个纯数字字符串都不超过

3E8_{16}

，而且这些就是全部可能。

第一位有

4

种选择，另外两位各有

10

种选择。因此共有

4\cdot10\cdot10=400

个字符串，其中包括

000_{16}

。去掉零后得到

n=399

。

399

的数位和为

21

。

所以正确答案是 E。

In hexadecimal,

1000=3E8_{16}.

Pad each shorter representation to three digits with leading zeros. Every numeric-only string from

000_{16}

through

399_{16}

is at most

3E8_{16},

and these are all the possibilities.

The first digit has

4

choices, and each of the other two digits has

10

choices. This gives

4\cdot10\cdot10=400

strings, including

000_{16}.

Excluding zero leaves

n=399.

The sum of the digits in

399

is

21.

Thus, E is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 18 题

答案：E

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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