Question

以十六为底的数使用数字 $0$ 到 $9$ ，以及字母 $A$ 到 $F$ 表示 $10$ 到 $15$ 。前 $1000$ 个正整数中，有 $n$ 个数的这种表示只含数字字符。求 $n$ 的各位数字之和。

Hexadecimal (base-16) numbers are written using numeric digits $0$ through $9$ as well as the letters $A$ through $F$ to represent $10$ through $15.$ Among the first $1000$ positive integers, there are $n$ whose hexadecimal representation contains only numeric digits. What is the sum of the digits of $n?$

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

答案：E

知识点：进制数字基本计数

难度评级：1660

解答：

在十六进制中， $1000=3E8_{16}.$ 把较短的表示在前面补零，补成三位数。从 $000_{16}$ 到 $399_{16}$ 的每个纯数字字符串都不超过 $3E8_{16},$ 而且这些就是全部可能。

第一位有 $4$ 种选择，另外两位各有 $10$ 种选择。因此共有 $4\cdot10\cdot10=400$ 个字符串，其中包括 $000_{16}.$ 去掉零后得到 $n=399.$

$399$ 的数位和为 $21.$

所以正确答案是 E。

In hexadecimal, $1000=3E8_{16}.$ Pad each shorter representation to three digits with leading zeros. Every numeric-only string from $000_{16}$ through $399_{16}$ is at most $3E8_{16},$ and these are all the possibilities.

The first digit has $4$ choices, and each of the other two digits has $10$ choices. This gives $4\cdot10\cdot10=400$ strings, including $000_{16}.$ Excluding zero leaves $n=399.$

The sum of the digits in $399$ is $21.$

Thus, E is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 18 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 18 题