Question

一个小池塘中有十一片睡莲叶排成一行，标号为 $0$ 到 $10$ 。一只青蛙坐在 $1$ 号叶上。当青蛙在 $N$ 号叶上且 $0 < N < 10$ 时，它以概率 $\frac{N}{10}$ 跳到 $N-1$ 号叶，以概率 $1-\frac{N}{10}$ 跳到 $N+1$ 号叶。每次跳跃相互独立。

若青蛙到达 $0$ 号叶，它会被一条耐心等待的蛇吃掉。若青蛙到达 $10$ 号叶，它会离开池塘且不再回来。青蛙不被蛇吃掉而逃脱的概率是多少？

In a small pond there are eleven lily pads in a row labeled $0$ through $10.$ A frog is sitting on pad $1.$ When the frog is on pad $N,$ where $0 < N < 10,$ it will jump to pad $N-1$ with probability $\frac{N}{10}$ and to pad $N+1$ with probability $1-\frac{N}{10}.$ Each jump is independent of the previous jumps.

If the frog reaches pad $0$ it will be eaten by a patiently waiting snake. If the frog reaches pad $10$ it will exit the pond, never to return. What is the probability that the frog will escape without being eaten by the snake?

$\dfrac{32}{79}$

$\dfrac{161}{384}$

$\dfrac{63}{146}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：C

知识点：随机游走递推概率对称性

难度评级：2440

解答：

设 $p_i$ 为从第 $i$ 片叶开始最终逃脱的概率。边界条件为 $p_0=0$ 、 $p_{10}=1$ ，由对称性 $p_5=\frac12$ 。

对 $1\le i\le 4$ ，有递推式 $p_i=\frac{i}{10}p_{i-1}+\frac{10-i}{10}p_{i+1}$ 。

从 $p_5=\frac12$ 向下推，得到 $p_4=\frac25p_3+\frac3{10}$ 和 $p_3=\frac3{10}p_2+\frac7{10}p_4=\frac5{12}p_2+\frac7{24}$ 。

接着可得 $p_2=\frac15p_1+\frac45p_3=\frac3{10}p_1+\frac7{20}$ ，而 $p_1=\frac9{10}p_2$ 。

代入 $p_2$ 的表达式，得到 $p_1=\frac9{10}\left(\frac3{10}p_1+\frac7{20}\right)$ ，所以 $p_1=\frac{63}{146}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $p_i$ be the probability that the frog eventually escapes starting from pad $i$ . Then $p_0=0$ , $p_{10}=1$ , and by symmetry $p_5=\frac12$ .

For $1\le i\le 4$ , $p_i=\frac{i}{10}p_{i-1}+\frac{10-i}{10}p_{i+1}$ .

Working downward from $p_5=\frac12$ , we get $p_4=\frac25p_3+\frac3{10}$ , then $p_3=\frac3{10}p_2+\frac7{10}p_4=\frac5{12}p_2+\frac7{24}$ .

Next $p_2=\frac15p_1+\frac45p_3=\frac3{10}p_1+\frac7{20}$ . Finally $p_1=\frac9{10}p_2$ .

Substituting the expression for $p_2$ gives $p_1=\frac9{10}\left(\frac3{10}p_1+\frac7{20}\right)$ , so $p_1=\frac{63}{146}$ .

Thus, the correct answer is C .

2014 AMC 10B 第 25 题

答案：C

难度评级：2440

解答：

其他年份的第 25 题