Question

下列哪个数是完全平方数？

Which of the following numbers is a perfect square?

$\dfrac{14!15!}2$

$\dfrac{15!16!}2$

$\dfrac{16!17!}2$

$\dfrac{17!18!}2$

$\dfrac{18!19!}2$

答案：D

知识点：阶乘完全平方数质因数分解

难度评级：1420

解答：

注意每个选项都形如其中 $(n!)^2$ 已经是完全平方数，所以还需要 $\dfrac{n + 1}{2}$ 也是完全平方数。 $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$

这说明 $n + 1$ 必须是完全平方数的两倍。选项中只有 $n + 1 = 18$ ，因此 $n = 17$ 。

所以正确答案是 D。

Note that all of these answer choices are of the form $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$ We have that $(n!)^2$ is square, so we need $\dfrac{n + 1}{2}$ to be square as well.

This means that $n + 1$ must be twice a perfect square. The only choice we have is $n + 1 = 18,$ which gives us $n = 17.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 8 题

答案：D

难度评级：1420

解答：

其他年份的第 8 题