Question

两个非递减的非负整数数列首项不同。每个数列都满足从第三项开始，每一项等于前两项之和，并且两个数列的第七项都等于 $N$ 。 $N$ 的最小可能值是多少？

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N$ ?

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

答案：C

知识点：斐波那契数列丢番图方程最优化

难度评级：2010

解答：

若数列前两项为 $u,v$ ，则第七项为 $5u+8v$ 。

设两个数列前两项分别为 $(a_1,a_2)$ 和 $(b_1,b_2)$ ，且 $a_1\lt b_1$ 。因为两者第七项相同， $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ ，所以 $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ 。

由于 $5$ 与 $8$ 互质， $b_1-a_1$ 至少为 $8$ 。非递减要求 $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ 。

取 $a_1=0$ 、 $b_1=b_2=8$ 、 $a_2=13$ 可达到最小值，得到 $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ 。

所以正确答案是 C。

A sequence starting with $u,v$ has seventh term $5u+8v$ .

For two sequences $(a_1,a_2)$ and $(b_1,b_2)$ with different first terms, assume $a_1\lt b_1$ . Then $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ , so $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ .

Since $5$ and $8$ are relatively prime, $b_1-a_1$ is at least $8$ , and then nondecreasing order gives $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ .

The smallest construction is $a_1=0$ , $b_1=b_2=8$ , and $a_2=13$ . This gives $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ .

Thus, the correct answer is C .

2013 AMC 10B 第 21 题

答案：C

难度评级：2010

解答：

其他年份的第 21 题