Question

顶点为 $(6, 5)$ 、 $(8, -3)$ 和 $(9, 1)$ 的三角形关于直线 $x = 8$ 反射，得到第二个三角形。两个三角形并集的面积是多少？

A triangle with vertices $(6, 5),$ $(8, -3),$ and $(9, 1)$ is reflected about the line $x = 8$ to create a second triangle. What is the area of the union of the two triangles?

$9$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{31}{3}$

$\dfrac{32}{3}$

答案：E

知识点：坐标几何反射（几何）三角形面积对称性

难度评级：2060

解答：

反射后三角形顶点为 $(7,1)$ 、 $(8,-3)$ 、 $(10,5)$ 。

直线经过 $(6,5)$ 和 $(9,1)$ ，方程为 $y=-\frac43x+13$ ，它与 $x=8$ 相交于 $y=\frac73$ 。由对称性，并集可看作两个全等三角形，每个三角形的竖直底边从 $(8,-3)$ 到 $(8,\frac73)$ 。

这条底边长度为 $\frac73+3=\frac{16}{3}$ ，每个三角形的水平高为 $2$ 。因此并集面积为 $2\left(\frac12\cdot\frac{16}{3}\cdot2\right)=\frac{32}{3}$ 。

所以正确答案是 E。

The reflected triangle has vertices $(7,1)$ , $(8,-3)$ , and $(10,5)$ .

The line through $(6,5)$ and $(9,1)$ is $y=-\frac43x+13$ , so it meets $x=8$ at $y=\frac73$ . By symmetry, the union is two congruent triangles with vertical base from $(8,-3)$ to $(8,\frac73)$ .

That base has length $\frac73+3=\frac{16}{3}$ , and each triangle has horizontal height $2$ . Hence the union area is $2\left(\frac12\cdot\frac{16}{3}\cdot2\right)=\frac{32}{3}$ .

Thus, E is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 16 题

答案：E

难度评级：2060

解答：

其他年份的第 16 题