Question

一个三角形的两条边长为 $10$ 和 $15$ 。到第三边的高的长度等于到这两条已知边的高的长度的平均数。第三边长是多少？

Two sides of a triangle have lengths $10$ and $15.$ The length of the altitude to the third side is the average of the lengths of the altitudes to the two given sides. How long is the third side?

$6$

$8$

$9$

$12$

$18$

答案：D

知识点：三角形面积高线比与比例

难度评级：1660

解答：

设边长 $10$ 的边对应的高为 $h_1$ ，另一条已知边对应的高为 $h_2$ 。

同一三角形面积相同，所以 $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

第三边对应的高是另外两个高的平均数，因此为 $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

设第三边长为 $x$ 。由面积相等， $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

所以正确答案是 D。

Let $h_1$ be the length of the altitude to the side of length $10$ and similarly define $h_2$ for the other given side.

We have that $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

The third altitude is the average of the other two, which makes its length $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

Let the third side have length $x.$ Then $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

Thus, D is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 15 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 15 题