2013 AMC 10A 第 13 题

Question

有多少个三位数不能被

5

整除、各位数字和小于

20

，并且百位数字等于个位数字？

How many three-digit numbers are not divisible by

5,

have digits that sum to less than

20,

and have the first digit equal to the third digit?

52

60

66

68

70

答案：B

知识点：数字分类讨论

难度评级：1370

小提示：

这样的数形如

aba

。

The number has form

aba

大提示：

按重复数字

a

分类，并排除使数能被

5

整除的情况。

Case on the repeated digit

a

, excluding values that make the number divisible by

5

解答：

要使这个数不能被

5

整除，个位数字不能是

0

或

5

。

设百位和个位数字为

x

，十位数字为

y

。需要

2x + y \lt 20\text{。}

按

x

的

8

种可能取值分类：

若

x

为

1, 2, 3

或

4

，则任意数字

y

都满足，因为

y \lt 10

。

若

x = 6

，则

y \lt 8

，有

8

种选择。

若

x = 7

，则

y \lt 6

，有

6

种选择。

若

x = 8

，则

y \lt 4

，有

4

种选择。

若

x = 9

，则

y \lt 2

，有

2

种选择。

这样总共有

4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60

组解。

所以正确答案是 B。

Note that for the number to not be divisible by

5,

the units digits cannot be either

0

or

5.

Let

x

be the hundreds and units digit and

y

be the tens digit. Then we want

2x + y \lt 20.

Casing on the

8

possible values of

x,

we get:

If

x

is

1, 2, 3,

or

4,

then

y

can be anything since

y \lt 10.

If

x = 6,

then

y \lt 8,

which gives us

8

solutions.

If

x = 7,

then

y \lt 6,

which gives us

6

solutions.

If

x = 8,

then

y \lt 4,

which gives us

4

solutions.

If

x = 9,

then

y \lt 2,

which gives us

2

solutions.

This gives us a total of

4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60

solutions.

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 13 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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