Question

有多少个三位数不能被 $5$ 整除、各位数字和小于 $20$ ，并且百位数字等于个位数字？

How many three-digit numbers are not divisible by $5,$ have digits that sum to less than $20,$ and have the first digit equal to the third digit?

$52$

$60$

$66$

$68$

$70$

要使这个数不能被 $5$ 整除，个位数字不能是 $0$ 或 $5$ 。

设百位和个位数字为 $x$ ，十位数字为 $y$ 。需要按 $x$ 的 $8$ 种可能分类。 $2x + y \lt 20.$

若 $x$ 为 $1, 2, 3$ 或 $4$ ，则任意数字 $y$ 都满足，因为 $y \lt 10$ 。

若 $x = 6$ ，则 $y \lt 8$ ，有 $8$ 种选择。

若 $x = 7$ ，则 $y \lt 6$ ，有 $6$ 种选择。

若 $x = 8$ ，则 $y \lt 4$ ，有 $4$ 种选择。

若 $x = 9$ ，则 $y \lt 2$ ，有 $2$ 种选择。

所以总数为。 $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$

所以正确答案是 B。

Note that for the number to not be divisible by $5,$ the units digits cannot be either $0$ or $5.$

Let $x$ be the hundreds and units digit and $y$ be the tens digit. Then we want $2x + y \lt 20.$ Casing on the $8$ possible values of $x,$ we get:

If $x$ is $1, 2, 3,$ or $4,$ then $y$ can be anything since $y \lt 10.$

If $x = 6,$ then $y \lt 8,$ which gives us $8$ solutions.

If $x = 7,$ then $y \lt 6,$ which gives us $6$ solutions.

If $x = 8,$ then $y \lt 4,$ which gives us $4$ solutions.

If $x = 9,$ then $y \lt 2,$ which gives us $2$ solutions.

This gives us a total of $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$ solutions.

Thus, B is the correct solution.