2012 AMC 10B 第 12 题

先试着解答 2012 AMC 10B 第 12 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2012 AMC 10B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

点

B

在点

A

的正东方向。点

C

在点

B

的正北方向。点

A

与

C

之间的距离为

10\sqrt 2

米，且

\angle BAC = 45^\circ

。点

D

在点

C

正北

20

米处。距离

AD

介于哪两个整数之间？

Point

B

is due east of point

A.

Point

C

is due north of point

B.

The distance between points

A

and

C

is

10\sqrt 2

meters, and

\angle BAC = 45^\circ.

Point

D

is

20

meters due north of point

C.

The distance

AD

is between which two integers?

30

和

31

30

and

31

31

和

32

31

and

32

32

和

33

32

and

33

33

和

34

33

and

34

34

和

35

34

and

35

答案：B

知识点：勾股定理特殊直角三角形估算

难度评级：1140

小提示：

三角形

ABC

是

45

-

45

-

90

三角形。

Triangle

ABC

is

45

-

45

-

90

大提示：

求

AB

和

BD

，再用勾股定理。

Find

AB

and

BD

, then use the Pythagorean Theorem

解答：

因为

AB

与

BC

垂直，所以

AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200\text{。}

又因为

\angle BAC = 45^\circ

，

\triangle ABC

是等腰直角三角形，所以

AB = BC

，从而

2AB^2 = 200

。因此

AB = BC = 10

。

于是

BD= BC+CD = 30\text{。}

由勾股定理，

\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned}

因为

31^2 \lt AD^2 \lt 32^2\text{，}

所以

31 \lt AD\lt 32

所以正确答案是 B。

We know

AB

and

BC

are perpendicular, so

AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200.

Also, as

\angle BAC = 45^\circ,

we know that

\triangle ABC

is an isosceles right triangle, so

AB = BC ,

making

2AB^2 = 200.

Thus,

AB = BC = 10.

As such, we know that

BD= BC+CD = 30.

Thus, by the Pythagorean Theorem, we have that

\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned}

Thus, since

31^2 \lt AD^2 \lt 32^2,

we have

31 \lt AD\lt 32

Thus, the correct answer is B .