Question

Brian 写下四个整数 $w > x > y > z$ ，它们的和为 $44$ 。这些数两两之间的正差为 $1, 3, 4, 5, 6$ 和 $9$ 。 $w$ 的所有可能值之和是多少？

Brian writes down four integers $w > x > y > z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1, 3, 4, 5, 6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

答案：B

知识点：方程组分类讨论

难度评级：1990

解答：

最大差为 $9$ ，所以 $w-z=9$ 。对任一中间数 $n$ ，差 $w-n$ 与 $n-z$ 的和必须为 $9$ 。

可用的和为 $9$ 的配对为 $3+6$ 和 $4+5$ ，剩下两个中间数之间的差为 $1$ 。

一种集合为 $\{w,w-5,w-6,w-9\}$ ，给出 $4w-20=44$ ，所以 $w=16$ 。另一种为 $\{w,w-3,w-4,w-9\}$ ，给出 $4w-16=44$ ，所以 $w=15$ 。

可能的 $w$ 之和为 $16+15=31$ 。

所以正确答案是 B。

The largest difference is $9$ , so $w-z=9$ . For either middle number $n$ , the two differences $w-n$ and $n-z$ must add to $9$ .

The available pairs of differences that add to $9$ are $3+6$ and $4+5$ , and the remaining difference between the two middle numbers is $1$ .

One possible set is $\{w,w-5,w-6,w-9\}$ , giving $4w-20=44$ and $w=16$ . The other is $\{w,w-3,w-4,w-9\}$ , giving $4w-16=44$ and $w=15$ .

The sum of the possible values of $w$ is $16+15=31$ .

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 21 题

答案：B

难度评级：1990

解答：

其他年份的第 21 题