2011 AMC 10B 第 21 题

Question

Brian 写下四个整数

w > x > y > z

，它们的和为

44

。这些数两两之间的正差为

1

、

3

、

4

、

5

、

6

和

9

。

w

的所有可能值之和是多少？

Brian writes down four integers

w > x > y > z

whose sum is

44.

The pairwise positive differences of these numbers are

1,

3,

4,

5,

6,

and

9.

What is the sum of the possible values for

w?

16

31

48

62

93

答案：B

知识点：方程组分类讨论

难度评级：1990

小提示：

最大差必须是

w-z=9

。

The largest difference must be

w-z=9

大提示：

剩余成对差必须把

9

分成

3+6

或

4+5

。

The remaining paired differences must split

9

as

3+6

or

4+5

解答：

最大差为

9

，所以

w-z=9

。对任一中间数

n

，差

w-n

与

n-z

的和必须为

9

。

可用的和为

9

的配对为

3+6

和

4+5

，剩下两个中间数之间的差为

1

。

一种集合为

\{w,w-5,w-6,w-9\}

，给出

4w-20=44

，所以

w=16

。另一种为

\{w,w-3,w-4,w-9\}

，给出

4w-16=44

，所以

w=15

。

可能的

w

之和为

16+15=31

。

所以正确答案是 B。

The largest difference is

9

, so

w-z=9

. For either middle number

n

, the two differences

w-n

and

n-z

must add to

9

.

The available pairs of differences that add to

9

are

3+6

and

4+5

, and the remaining difference between the two middle numbers is

1

.

One possible set is

\{w,w-5,w-6,w-9\}

, giving

4w-20=44

and

w=16

. The other is

\{w,w-3,w-4,w-9\}

, giving

4w-16=44

and

w=15

.

The sum of the possible values of

w

is

16+15=31

.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 21 题

答案：B

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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