Question

一个边长为 $2$ 英寸的立方体蛋糕，其侧面和顶面都涂了糖霜。它按俯视图所示被竖直切成三块，其中 $M$ 是顶面一条边的中点。顶面为三角形 $B$ 的那块蛋糕含有 $c$ 立方英寸蛋糕和 $s$ 平方英寸糖霜。求 $c+s$ 的值。

A cubical cake with edge length $2$ inches is iced on the sides and the top. It is cut vertically into three pieces as shown in this top view, where $M$ is the midpoint of a top edge. The piece whose top is triangle $B$ contains $c$ cubic inches of cake and $s$ square inches of icing. What is $c+s?$

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{32}{5}$

$8+\sqrt5$

$5+\dfrac{16\sqrt5}{5}$

$10+5\sqrt5$

答案：B

知识点：立体几何相似体积表面积

难度评级：1750

解答：

把顶面看作 $2\times2$ 正方形。从 $M$ 向远角的切线形成顶面三角形 $A$ ，其直角边为 $1$ 和 $2$ ，面积为 $1$ ，斜边为 $\sqrt5$ 。

三角形 $B$ 与 $A$ 相似，但斜边为 $2$ ，所以其面积为 $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45$ 。蛋糕高为 $2$ ，所以体积 $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85$ 。

这块蛋糕上的糖霜包括顶面 $\dfrac45$ 和它相邻的完整立方体侧面 $2\times2=4$ ，所以 $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}$ 。因此 $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}$ 。

所以正确答案是 B。

Set the top face as a $2\times2$ square. The cut from $M$ toward the far corner creates the top triangle $A$ with legs $1$ and $2,$ so area $1$ and hypotenuse $\sqrt5.$

Triangle $B$ is similar to $A$ but with hypotenuse $2,$ so its area is $\left(\dfrac{2}{\sqrt5}\right)^2\cdot1=\dfrac45.$ Since the cake has height $2,$ the volume is $c=\dfrac45\cdot2=\dfrac85.$

The icing on this piece is its top ( $\dfrac45$ ) plus the full cube side face it borders ( $2\times2=4$ ), so $s=\dfrac45+4=\dfrac{24}{5}.$ Therefore $c+s=\dfrac85+\dfrac{24}{5}=\dfrac{32}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B 第 22 题

答案：B

难度评级：1750

解答：

其他年份的第 22 题