2009 AMC 10B 第 21 题

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21.

当

3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}

除以

8

时，余数是多少？

What is the remainder when

3^0+3^1+3^2+\cdots+3^{2009}

is divided by

8?

0

1

2

4

6

答案：D

知识点：模运算等比数列配对与分组

难度评级：1420

小提示：

3^0+3^1+3^2+3^3=40

是

8

的倍数。

3^0+3^1+3^2+3^3=40

is a multiple of

8

大提示：

将

2010

项分成每四项一组，并处理剩余项。

Group the

2010

terms into blocks of four and handle the leftover

解答：

任意连续四个

3

的幂之和都是

3^0+3^1+3^2+3^3=40

的倍数，而这个数能被

8

整除。

从

3^2

到

3^{2009}

的项可以分成这样的四项组，对余数贡献为

0

。剩下的是

3^0+3^1=4

。

所以正确答案是 D。

Any four consecutive powers of

3

sum to a multiple of

3^0+3^1+3^2+3^3=40,

which is divisible by

8.

The terms from

3^2

to

3^{2009}

split into such blocks and contribute remainder

0.

What remains is

3^0+3^1=4.

Thus, the correct answer is D.