Question

对 $k \gt 0$ ，令 $I_k = 10\ldots064$ ，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。设 $N(k)$ 为 $I_k$ 的质因数分解中因数 $2$ 的个数。 $N(k)$ 的最大值是多少？

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：B

知识点：质因数分解立方和与立方差分类讨论

难度评级：2160

解答：

写成 $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

如果 $k \lt 4$ ，第一项含有少于 $6$ 个因数 $2$ ，所以 $N(k) = k + 2 \lt 6$ 。

如果 $k \gt 4$ ，第一项至少含有 $7$ 个因数 $2$ ，而第二项恰好含有 $6$ 个，所以它们的和恰好含有 $6$ 个这样的因数，即 $N(k) = 6$ 。

如果 $k = 4$ ，则 $I_4 = 2^6(5^6 + 1)$ 。因为 $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601$ ，它恰好多贡献一个因数 $2$ ，所以 $N(4) = 7$ 。

最大值为 $N(4) = 7$ 。

所以正确答案是 B。

Write $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

If $k \lt 4,$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) = k + 2 \lt 6.$

If $k \gt 4,$ the first term has at least $7$ factors of $2$ while the second has exactly $6,$ so their sum has exactly $6:$ $N(k) = 6.$

If $k = 4,$ then $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ it contributes exactly one more factor of $2.$ Thus $N(4) = 7.$

The maximum value is $N(4) = 7.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10A 第 25 题

答案：B

难度评级：2160

解答：

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