2008 AMC 10A 第 7 题

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7.

分式

\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}

化简后等于下列哪一项？

The fraction

\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}

simplifies to which of the following?

1

\dfrac{9}{4}

3

\dfrac{9}{2}

9

答案：E

知识点：指数因式分解

难度评级：1210

小提示：

\left(3^{2008}\right)^2 = 9^{2008}

。

\left(3^{2008}\right)^2 = 9^{2008}

大提示：

从分子和分母中都提出

9^{2005}

。

Factor

9^{2005}

out of both the numerator and the denominator

解答：

因为

\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k}

，分式为

\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}

。

从上下都提出

9^{2005}

，得到

\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9\text{。}

所以正确答案是 E。

Since

\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k},

the fraction is

\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}.

Factoring

9^{2005}

from each part gives

\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9.

Thus, the correct answer is E.