2007 AMC 10B 第 8 题

Question

在这场 AMC

10

编写会议结束返程时，竞赛主席注意到他的机场停车收据上的数字形如

bbcac

，其中

0\le a\lt b\lt c\le 9

，且

b

是

a

和

c

的平均数。有多少个不同的五位数满足所有这些性质？

On the trip home from the meeting where this AMC

10

was constructed, the Contest Chair noted that his airport parking receipt had digits of the form

bbcac,

where

0\le a\lt b\lt c\le 9,

and

b

was the average of

a

and

c.

How many different five-digit numbers satisfy all these properties?

12

16

18

20

24

答案：D

知识点：数字奇偶性组合

难度评级：1290

小提示：

条件

b=\dfrac{a+c}{2}

迫使

a

和

c

奇偶性相同。

The condition

b=\dfrac{a+c}{2}

forces

a

and

c

to have the same parity

大提示：

分别在偶数数字和奇数数字中数出

a\lt c

的配对；每对都唯一确定

b

。

Count pairs

a\lt c

among the even digits and among the odd digits; each pair fixes

b

解答：

一旦选定

a

和

c

，

b=\dfrac{a+c}{2}

就确定，且

a\lt b\lt c

自动成立。为了使

b

为整数，

a

和

c

必须同奇偶。

从

\{0,2,4,6,8\}

中选两个，有

\binom{5}{2}=10

对；从

\{1,3,5,7,9\}

中选两个，又有

10

对。

因此共有

20

个符合条件的五位数。

所以正确答案是 D。

Once

a

and

c

are chosen,

b=\dfrac{a+c}{2}

is determined, and

a\lt b\lt c

holds automatically. For

b

to be an integer,

a

and

c

must share parity.

Choosing two even digits from

\{0,2,4,6,8\}

gives

\binom{5}{2}=10

pairs, and choosing two odd digits from

\{1,3,5,7,9\}

gives another

10.

This yields

20

valid numbers.

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B 第 8 题

答案：D

难度评级：1290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题