Question

设 $S$ 为最小的 $2005$ 个正的 $4$ 的倍数组成的集合， $T$ 为最小的 $2005$ 个正的 $6$ 的倍数组成的集合。 $S$ 和 $T$ 有多少个共同元素？

Let $S$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $4,$ and let $T$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $6.$ How many elements are common to $S$ and $T?$

$166$

$333$

$500$

$668$

$1001$

答案：D

知识点：最小公倍数倍数区间内整数计数

难度评级：1690

解答：

$S$ 和 $T$ 的共同元素是 $\operatorname{lcm}(4,6) = 12$ 的倍数。集合 $S$ 包含不超过 $4 \cdot 2005 = 8020$ 的 $4$ 的倍数，而 $T$ 最大到 $6 \cdot 2005 = 12{,}030$ ，所以上界由 $8020$ 决定。共同元素是不超过该上界的 $12$ 的倍数，共有 $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ 个。

所以正确答案是 D。

The elements common to $S$ and $T$ are the multiples of $\operatorname{lcm}(4,6) = 12.$ Now $S$ contains multiples of $4$ up to $4 \cdot 2005 = 8020,$ while $T$ reaches up to $6 \cdot 2005 = 12{,}030,$ so the common elements are the multiples of $12$ not exceeding $8020.$ There are $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ of them.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A 第 22 题

答案：D

难度评级：1690

解答：

其他年份的第 22 题